HDU4279(2012年天津网络赛---数论分析题)

题目：Number

题意： 给出一个f(x),表示不大于x的正整数里，不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数。定义F(x),为不大于x的正整数里，满足f(x)的值为奇数的数的个数。题目就是求这个F(x)。

网上很多方法就是打表找规律，已经谈不上是算法了。

这里我们可以来分析：

不整除x且跟x有大于1的公约数的数的个数 f(x)=x-约数个数-互质数个数+1 。

把x素因子分解，易知x的约数个数为（质数的幂+1）的累乘。所以若要使约数为奇数，充要条件是（质数的幂+1）都为奇

 

数，即质数的幂都为偶数。所以此时x必然是一个平方数。

综上，x为平方数，其约数个数为奇数；x为非平方数，其约数个数为偶数。

互质数个数，我们有欧拉函数。

 

这里用到一个结论：欧拉函数在n>2时，值都为偶数。

 

所以，

当x>2时：

若x为平方数，f(x)=x-奇-偶+1，要使f(x)为奇数，则x必为奇数；

若x为非平方数，f(x)=x-偶-偶+1，要使f(x)为奇数，则x必为偶数。 

当x=1或2时，f(x)=0.

综上，F(x)的值为[3,x]中，奇数平方数+偶数非平方数的个数和，即 偶数个数-偶数^2的个数+奇数^2的个数。

而偶数个数为 x/2-1，-1是为了把2减掉。偶数^2个数为 sqrt(x)/2，奇数^2个数为 ( sqrt(x)-(sqrt(x)/2) )-1，这里-1是为了把1减掉。

所以，化简后，F(x)=x/2-1+(sqrt(x)%2? 0:-1).

 

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL Solve(LL n)
{
    LL ans=0;
    if(n<6) return 0;
    ans+=n/2-2;
    if((LL)sqrt(1.0*n)&1) ans++;
    return ans;
}

int main()
{
    LL a,b,t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>a>>b;
        cout<<Solve(b)-Solve(a-1)<<endl;
    }
    return 0;
}