部分和问题---多重部分和问题---动态规划

第一：01部分和（每个数只取一次）

给定整数a1、a2、.......an，判断是否可以从中选出若干数，使它们的和恰好为K。

输入：

n=4

a={1,2,4,7}

k=13

输出：

Yes（13=2+4+7）

思路：先介绍一种深度优先的搜索方法，从a1顺序决定每个数加或不加，在全部n个数都决定之后在判断和是否为K即可。这个搜索的复杂度是O（2^n）.

int a[MAXN];
int n,k;

bool dfs(int i,int sum){
    if(i==n) return sum==k;
    if(dfs(i+1,sum))return 1;
    if(dfs(i+1,sum+a[i]))return 1;
   return 0;
}

/// initial call dfs(0,0)；

如果要求保存相加的每一个数，可以这样实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int a[4]={1,2,4,7},k;
vector<int> ans;
void dfs(int i,int sum)
{
	if(i==4){
		if(sum==k)
	   	{
   			for(int i=0;i!=ans.size();i++)cout<<ans[i]<<" ";
			cout<<endl;
			return ;
   		}
   		else 
		 return ;
	}
	dfs(i+1,sum);
	ans.push_back(a[i]);
	dfs(i+1,sum+a[i]);
	ans.pop_back();
	return ;
}
int main()
{
	 k=7;
	 dfs(0,0);
}

第二：多重部分和

n种大小不同的数字 ai，每种各mi个，判断是否可以从这些数字之中选出若干个使他们的和恰好为K。

输入：

n=3;

a={3,5,8}

m={3,2,2}

K=17

输出：

Yes(3*3+8)

思路：

这个问题可以用DP来求解: dp[i][j] := 用前i种数字是否能加和成j

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n,K;
const int maxn=100;
const int maxk=100000;
int a[maxn],m[maxn];
bool dp[maxn][maxk];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>m[i];
	cin>>K;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=K;j++)
			for(int k=0;k<=m[i] && k*a[i]<=j;k++){
				dp[i+1][j] |=dp[i][j-k*a[i]];
			}
	
	if(dp[n][K])cout<<"yes"<<endl;
	else cout<<"no"<<endl;
	//cout<<dp[n][K]<<endl;
	return 0;				
}

将这个问题稍加变形：求解从这些数字中选取若干能恰好加和成K的方法数。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int n,K;
const int maxn=100;
const int maxk=100000;
int a[maxn],m[maxn];
int dp[maxn][maxk];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>a[i];
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>m[i];
	cin>>K;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=K;j++)
			for(int k=0;k<=m[i] && k*a[i]<=j;k++){
				dp[i+1][j] +=dp[i][j-k*a[i]];
			}
	
/*
	if(dp[n][K])cout<<"yes"<<endl;
	else cout<<"no"<<endl;*/
	cout<<dp[n][K]<<endl;
	return 0;				
}