在计算机科学中，树是一种十分重要的数据结构。树被描述为一种分层数据抽象模型，常用来描述数据间的层级关系和组织结构。树也是一种非顺序的数据结构。下图展示了树的定义：
在介绍如何用JavaScript实现树之前，我们先介绍一些和树相关的术语。
如上图所示，一棵完整的树包含一个位于树顶部的节点，称之为根节点（11），它没有父节点。树中的每一个元素都叫做一个节点，节点分为内部节点（图中显示为黄色的节点）和外部节点（图中显示为灰色的节点），至少有一个子节点的节点称为内部节点，没有子元素的节点称为外部节点或叶子节点。一个节点可以有祖先（根节点除外）和后代。子树由节点本身和它的后代组成，如上图中三角虚框中的部分就是一棵子树。节点拥有的子树的个数称之为节点的度，如上图中除叶子节点的度为0外，其余节点的度都为2。从根节点开始，根为第1层，第一级子节点为第2层，第二级子节点为第3层，以此类推。树的高度（深度）由树中节点的最大层级决定（上图中树的高度为4）。
在一棵树中，具有相同父节点的一组节点称为兄弟节点，如上图中的3和6、5和9等都是兄弟节点。
二叉树
二叉树中的节点最多只能有两个子节点，一个是左子节点，一个是右子节点。左右子节点的顺序不能颠倒。因此，二叉树中不存在度大于2的节点。
二叉搜索树（BST——Binary Search Tree）是二叉树的一种，它规定在左子节点上存储小（比父节点）的值，在右子节点上（比父节点）存储大（或等于）的值。上图就是一个二叉搜索树。
下面我们重点来看一下二叉搜索树的实现。
根据二叉树的描述，一个节点最多只有两个子节点，我们可以使用《JavaScript数据结构——链表的实现与应用》一文中的双向链表来实现二叉搜索树中的每一个节点。下面是二叉搜索树的数据结构示意图：
以下是我们要实现的BinarySearchTree类的骨架部分：
class BinarySearchTree { constructor () { this.root = null; } // 向树中插入一个节点 insert (key) {} // 在树中查找一个节点 search (key) {} // 通过中序遍历方式遍历树中的所有节点 inOrderTraverse () {} // 通过先序遍历方式遍历树中的所有节点 preOrderTraverse () {} // 通过后序遍历方式遍历树中的所有节点 postOrderTraverse () {} // 返回树中的最小节点 min () {} // 返回树中的最大节点 max () {} // 从树中移除一个节点 remove (key) {} }
先来看看向树中添加一个节点。我们借用《JavaScript数据结构——链表的实现与应用》一文中的双向链表DoubleLinkedList类来模拟树中的节点，在DoubleLinkedList类中，每一个节点有三个属性：element、next和prev。我们在这里用element表示树中节点的key，用next表示树中节点的右子节点（right），用prev表示树中节点的左子节点（left）。
insert (key) { let newNode = new Node(key); if (this.root === null) this.root = newNode; else insertNode(this.root, newNode); }
当树的root为null时，表示树为空，这时直接将新添加的节点作为树的根节点。否则，我们需要借助于私有函数insertNode()来完成节点的添加。在insertNode()函数中，我们需要根据新添加节点的key的大小来递归查找树的左侧子节点或者右侧子节点，因为根据我们的二叉搜索树的定义，值小的节点永远保存在左侧子节点上，值大的节点（包括值相等的情况）永远保存在右侧子节点上。下面是insertNode()函数的实现代码：
let insertNode = function (node, newNode) { if (newNode.element < node.element) { if (node.prev === null) node.prev = newNode; else insertNode(node.prev, newNode); } else { if (node.next === null) node.next = newNode; else insertNode(node.next, newNode); } };
所有新节点只能作为叶子节点被添加到树中。在本文一开始给出的树的结构图中，如果要添加节点2，对应的操作步骤如下：
我们传入树的根节点，依次进行递归，找到对应的叶子节点，然后修改节点的prev（左子节点）或next（右子节点）指针，使其指向新添加的节点。在上例中，如果要添加节点4，它对应的位置应该是节点3的右子节点，因为4比3大。如果要添加节点21，对应的位置应该是节点25的左子节点......
下面我们来看看树的三种遍历方式：
- 前序遍历（NLR——Preorder Traversal）也叫先序遍历，访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之前。
- 中序遍历（LNR——Inorder Traversal），访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之间。
- 后序遍历（LRN——Postorder Traversal），访问根节点的操作发生在遍历其左右子树之后。
下面的三个方法对应树的三种遍历方式：
// 前序遍历 let preOrderTraverseNode = function (node, callback) { if (node !== null) { callback(node.element); preOrderTraverseNode(node.prev, callback); preOrderTraverseNode(node.next, callback); } }; // 中序遍历 let inOrderTraverseNode = function (node, callback) { if (node !== null) { inOrderTraverseNode(node.prev, callback); callback(node.element); inOrderTraverseNode(node.next, callback); } }; // 后续遍历 let postOrderTraverseNode = function (node, callback) { if (node !== null) { postOrderTraverseNode(node.prev, callback); postOrderTraverseNode(node.next, callback); callback(node.element); } };
可以看到，这三个函数的内容很相似，只是调整了左右子树和根节点的遍历顺序。这里的callback是一个回调函数，可以传入任何你想执行的函数，这里我们传入的函数内容是打印树的节点的key值。我们将BinarySearchTree类的这三个遍历方法的内容补充完整：
preOrderTraverse (callback) { preOrderTraverseNode(this.root, callback); } inOrderTraverse (callback) { inOrderTraverseNode(this.root, callback); } postOrderTraverse (callback) { postOrderTraverseNode(this.root, callback); }
为了构建本文一开始的那棵树，我们执行下面的代码，然后测试preOrderTraverse()方法：
let tree = new BinarySearchTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(5); tree.insert(9); tree.insert(13); tree.insert(20); tree.insert(3); tree.insert(6); tree.insert(8); tree.insert(10); tree.insert(12); tree.insert(14); tree.insert(18); tree.insert(25); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
注意节点插入的顺序，顺序不同，你可能会得到不一样的树。preOrderTraverse()方法采用ES6的语法传入了一个匿名函数作为参数callback的值，这个匿名函数的主要作用就是打印树中节点的key值，可以对照上面三个遍历树节点的函数中的callback(node.element)语句，这里的callback就是这个匿名函数，node.element就是节点的key值（还记得前面我们说过，借用双向链表类DoubleLinkedList来模拟树的节点吗？）下面是前序遍历的执行结果：
11 7 5 3 6 9 8 10 15 13 12 14 20 18 25
我们参照前序遍历的定义，借住下面的示意图来理解整个遍历过程：
在前序遍历函数preOrderTraverseNode()中，先执行callback(node.element)，然后再依次递归左子树和右子树。我们将树的根节点作为第一个节点传入，首先打印的就是根节点11，然后开始遍历左子树，这将依次打印左子树中的所有左子节点，依次是7、5、3。当节点3的prev为null时，递归返回，继续查找节点3的右子节点，此时节点3的next值也为null，于是继续向上返回到节点5，开始遍历节点5的右子节点，于是打印节点6......最终所有的节点就按照这个递归顺序进行遍历。
然后我们再来看看中序遍历的情况。
tree.inOrderTraverse((value) => console.log(value));
3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 20 25
在中序遍历函数inOrderTraverseNode()中，先递归左子树，然后执行callback(node.element)，最后再递归右子树。同样的，我们将根节点作为第一个节点传入，递归到左子树的最后一个左子节点3，由于节点3的prev为null，所以递归返回，打印节点3，然后继续查找节点3的右子节点，节点3的next值也为null，递归返回到上一层节点5，开始打印节点5，之后再查找节点5的右子节点......最终整棵树按照这个顺序完成遍历。
最后再来看看后序遍历的情况。
tree.postOrderTraverse((value) => console.log(value));
3 6 5 8 10 9 7 12 14 13 18 25 20 15 11
在后序遍历函数postOrderTraverseNode()中，先递归左子树，然后再递归右子树，最后执行callback(node.element)。同样的，我们将根节点作为第一个节点传入，递归到左子树的最后一个左子节点3，由于节点3的prev为null，所以递归返回，此时继续查找节点3的右子节点，节点3的next值也为null，递归返回并打印节点3，之后递归返回到上一层节点5，开始查找节点5的右子节点，节点5的右子节点是节点6，由于节点6是叶子节点，所以直接打印节点6，然后递归返回并打印节点5。之后递归再向上返回到节点7并递归节点7的右子节点......按照这个顺序最终完成对整棵树的遍历。
接下来我们再来看看对树的搜索。有三种要经常执行的搜索方式：
- 搜索树中的最小值
- 搜索树中的最大值
- 搜索树中的特定值
搜索树中的最小值和最大值比较简单，由于我们的二叉搜索树规定了值小的节点永远在左子树（左子节点）中，值大（或相等）的节点永远在右子树（右子节点）中，所以，搜索最大值我们只需要递归查找树的右子树直到叶子节点，就能找到值最大的节点。搜索最小值只需要递归查找树的左子树直到叶子节点，就能找到值最小的节点。下面是这两个函数的实现：
let minNode = function (node) { if (node === null) return null; while (node && node.prev !== null) { node = node.prev; } return node; }; let maxNode = function (node) { if (node === null) return null; while (node && node.next !== null) { node = node.next; } return node; };
第三种方式是搜索特定的值，我们需要比较要搜索的值与当前节点的值，如果要搜索的值小于当前节点的值，则从当前节点开始递归查找左子数（左子节点）。如果要搜索的值大于当前节点的值，则从当前节点开始递归查找右子树（右子节点）。按照这个逻辑，我们的searchNode()函数实现如下：
let searchNode = function (node, key) { if (node === null) return null; if (key < node.element) return searchNode(node.prev, key); else if (key > node.element) return searchNode(node.next, key); else return node; };
如果找到了对应的节点，就返回该节点，否则就返回null。我们将BinarySearchTree类的这三个搜索方法的内容补充完整：
search (key) { return searchNode(this.root, key); } min () { return minNode(this.root); } max () { return maxNode(this.root); }
下面是一些测试用例及结果：
console.log(tree.min().element); // 3 console.log(tree.max().element); // 25 console.log(tree.search(1) ? 'Key 1 found.' : 'Key 1 not found.'); // Key 1 not found. console.log(tree.search(8) ? 'Key 8 found.' : 'Key 8 not found.'); // Key 8 found.
让我们来看一下search()方法的执行过程是怎样的。
搜索key=1的节点，首先我们传入树的根节点和key=1，由于1小于根节点的值11，递归查找根节点的左子节点7，1<7，继续查找节点7的左子节点，直到找到叶子节点3，1仍然小于3，但是节点3没有左子节点了，所以返回false，整个递归开始向上返回，最终返回的结果是false，表示树中没有key=1的节点。
相应地，对于搜索key=8的节点，也是先遍历根节点的左子节点7，由于8>7，所以会遍历节点7的右子节点，找到节点9，8<9，遍历节点9的左子节点，此时找到节点9的左子节点正好是8，所以返回true，然后整个递归向上返回，最终的返回结果就是true，表示树中找到了key=8的节点。
最后我们再来看一下从树中移除一个节点的过程，这个过程要稍微复杂一些。先来看看删除树节点的函数removeNode()的代码，稍后我们再来详细讲解整个执行过程。
let removeNode = function (node, key) { if (node === null) return null; if (key < node.element) { node.prev = removeNode(node.prev, key); return node; } else if (key > node.element) { node.next = removeNode(node.next, key); return node; } else { // 第一种情况：一个叶子节点（没有子节点） if (node.prev === null && node.next === null) { node = null; return node; } // 第二种情况：只包含一个子节点 if (node.prev === null) { node = node.next; return node; } else if (node.next === null) { node = node.prev; return node; } // 第三种情况：有两个子节点 let aux = minNode(node.next); node.element = aux.element; node.next = removeNode(node.next, aux.element); return node; } };
首先要找到树中待删除的节点，这需要进行递归遍历，从根节点开始，如果key值小于当前节点的值，则遍历左子树，如果key值大于当前节点的值，则遍历右子树。注意，在递归遍历的过程中，我们将node（这里的node传入的是树的根节点）的prev指针或next指针逐级指向下一级节点，然后返回整个node。当找到要删除的节点后，我们要处理三种情况：
- 该节点为叶子节点（没有子节点）
- 该节点只有一个子节点（左子节点或右子节点）
- 该节点有两个子节点（左右子节点都存在）
我们先看第一种情况：
假设我们要删除节点6，传入根节点11，整个执行过程如下：
- node=11，key=6，6<11，递归执行removeNode(7, 6)
- node=7，key=6，6<7，递归执行removeNode(5, 6)
- node=5，key=6，6>5，递归执行removeNode(6, 6)
- node=6，key=6，6=6，并且节点6的prev和next都为null，所以我们将节点6设置为null，并且返回null
- 递归返回到步骤3，节点5的next将获取步骤4的返回值null
- 递归返回到步骤2，节点7的prev依然指向节点5，保持不变
- 递归返回到步骤1，节点11的prev依然指向节点7，保持不变
- 最后返回节点11
然后我们来看只有一个子节点的情况：
前面已经删除了节点6，假设我们现在要删除节点5，它有一个左子节点3，我们依然传入根节点11，来看看整个执行过程：
- node=11，key=5，5<11，递归执行removeNode(7, 5)
- node=7，key=5，5<7，递归执行removeNode(5, 5)
- node=5，key=5，5=5，并且节点5的prev=3，next=null，所以我们将节点5替换成它的左子节点3，并返回节点3
- 递归返回到步骤2，节点7的next将获取步骤3的返回值3
- 递归返回到步骤1，节点11的prev依然指向节点7，保持不变
- 最后返回节点11
我们不需要将节点5从内存中删除，它会自动被JavaScript的垃圾回收器清理掉，这个在《JavaScript数据结构——链表的实现与应用》一文中已经介绍过。以上步骤是针对目标节点有左子节点的情况，对于有右子节点情况，执行过程是类似的。
最后再来看第三种情况：
前面已经删除了节点6和节点5，现在我们要删除节点15，它有左右子树，我们传入根节点11，来看下具体执行过程：
- node=11，key=15，15>11，递归执行removeNode(15, 15)
- node=15，key=15，15=15，此时我们需要找到节点15的右子树中的最小节点18，将节点15的key替换成节点18的key，然后将节点15的next节点（即节点20）作为起始节点进行遍历，找到并删除节点18，最后再将节点15（此时它的key是18）的next指针指向节点20，并返回节点15
- 递归返回到步骤1，节点11的next依然指向节点15，但此时节点15的key已经变成18了
- 最后返回节点11
试想一下，当删除节点15之后，为了保证我们的二叉搜索树结构稳定，必须用节点15的右子树中的最小节点来替换节点15，如果直接将11的next指向20，则20将会有三个子节点13、18、25，这显然已经不符合我们二叉树的定义了。如果将节点25用来替换节点15，节点20的值比节点25的值小，不应该出现在右子节点，这也不符合我们的二叉搜索树的定义。所以，只有按照上述过程才能既保证不破坏树的结构，又能删除节点。
我们已经完成了一开始我们定义的二叉搜索树BinarySearchTree类的所有方法，下面是它的完整代码：
1 let insertNode = function (node, newNode) { 2 if (newNode.element < node.element) { 3 if (node.prev === null) node.prev = newNode; 4 else insertNode(node.prev, newNode); 5 } 6 else { 7 if (node.next === null) node.next = newNode; 8 else insertNode(node.next, newNode); 9 } 10 }; 11 12 let preOrderTraverseNode = function (node, callback) { 13 if (node !== null) { 14 callback(node.element); 15 preOrderTraverseNode(node.prev, callback); 16 preOrderTraverseNode(node.next, callback); 17 } 18 }; 19 20 let inOrderTraverseNode = function (node, callback) { 21 if (node !== null) { 22 inOrderTraverseNode(node.prev, callback); 23 callback(node.element); 24 inOrderTraverseNode(node.next, callback); 25 } 26 }; 27 28 let postOrderTraverseNode = function (node, callback) { 29 if (node !== null) { 30 postOrderTraverseNode(node.prev, callback); 31 postOrderTraverseNode(node.next, callback); 32 callback(node.element); 33 } 34 }; 35 36 let minNode = function (node) { 37 if (node === null) return null; 38 39 while (node && node.prev !== null) { 40 node = node.prev; 41 } 42 return node; 43 }; 44 45 let maxNode = function (node) { 46 if (node === null) return null; 47 48 while (node && node.next !== null) { 49 node = node.next; 50 } 51 return node; 52 }; 53 54 let searchNode = function (node, key) { 55 if (node === null) return false; 56 57 if (key < node.element) return searchNode(node.prev, key); 58 else if (key > node.element) return searchNode(node.next, key); 59 else return true; 60 }; 61 62 let removeNode = function (node, key) { 63 if (node === null) return null; 64 65 if (key < node.element) { 66 node.prev = removeNode(node.prev, key); 67 return node; 68 } 69 else if (key > node.element) { 70 node.next = removeNode(node.next, key); 71 return node; 72 } 73 else { 74 // 第一种情况：一个叶子节点（没有子节点） 75 if (node.prev === null && node.next === null) { 76 node = null; 77 return node; 78 } 79 // 第二种情况：只包含一个子节点 80 if (node.prev === null) { 81 node = node.next; 82 return node; 83 } 84 else if (node.next === null) { 85 node = node.prev; 86 return node; 87 } 88 89 // 第三种情况：有两个子节点 90 let aux = minNode(node.next); 91 node.element = aux.element; 92 node.next = removeNode(node.next, aux.element); 93 return node; 94 } 95 }; 96 97 class BinarySearchTree { 98 constructor () { 99 this.root = null; 100 } 101 102 // 向树中插入一个节点 103 insert (key) { 104 let newNode = new Node(key); 105 106 if (this.root === null) this.root = newNode; 107 else insertNode(this.root, newNode); 108 } 109 110 // 在树中查找一个节点 111 search (key) { 112 return searchNode(this.root, key); 113 } 114 115 // 通过先序遍历方式遍历树中的所有节点 116 preOrderTraverse (callback) { 117 preOrderTraverseNode(this.root, callback); 118 } 119 120 // 通过中序遍历方式遍历树中的所有节点 121 inOrderTraverse (callback) { 122 inOrderTraverseNode(this.root, callback); 123 } 124 125 // 通过后序遍历方式遍历树中的所有节点 126 postOrderTraverse (callback) { 127 postOrderTraverseNode(this.root, callback); 128 } 129 130 // 返回树中的最小节点 131 min () { 132 return minNode(this.root); 133 } 134 135 // 返回树中的最大节点 136 max () { 137 return maxNode(this.root); 138 } 139 140 // 从树中移除一个节点 141 remove (key) { 142 this.root = removeNode(this.root, key); 143 } 144 }
自平衡树
上面的BST树（二叉搜索树）存在一个问题，树的一条边可能会非常深，而其它边却只有几层，这会在这条很深的分支上添加、移除和搜索节点时引起一些性能问题。如下图所示：
为了解决这个问题，我们引入了自平衡二叉搜索树（AVL——Adelson-Velskii-Landi）。在AVL中，任何一个节点左右两棵子树的高度之差最多为1，添加或移除节点时，AVL树会尝试自平衡。对AVL树的操作和对BST树的操作一样，不同点在于我们还需要重新平衡AVL树，在讲解对AVL树的平衡操作之前，我们先看一下什么是AVL树的平衡因子。
前面我们介绍过什么是树（子树）的高度，对于AVL树来说，每一个节点都保存一个平衡因子。
节点的平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度
观察下面这棵树，我们在上面标注了每个节点的平衡因子的值：
所有子节点的平衡因子都为0，因为子节点没有子树。节点5的左右子树的高度都为1，所以节点5的平衡因子是0。节点9的左子树高度为1，右子树高度为0，所以节点9的平衡因子是+1。节点13的左子树高度为0，右子树高度为1，所以节点13的平衡因子是-1......AVL树的所有节点的平衡因子保持三个值：0、+1或-1。同时，我们也注意到，当某个节点的平衡因子为+1时，它的子树是向左倾斜的（left-heavy）；而当某个节点的平衡因子为-1时，它的子树是向右倾斜的（right-heavy）；当节点的平衡因子为0时，该节点是平衡的。一颗子树的根节点的平衡因子代表了该子树的平衡性。
为了使AVL树重新达到平衡状态，我们需要对AVL树中的部分节点进行重新排列，使其既符合二叉搜索树的定义，又符合自平衡二叉树的定义，这个过程叫做AVL树的旋转。
AVL树的旋转一共分为四种：
- LL（left-left）旋转，新添加的节点位于树的根节点的左子树的左子树上。以非平衡因子的节点为中心将整棵树向右旋转。
- LR（left-right）旋转，新添加的节点位于树的根节点的左子树的右子树上。先执行RR旋转，然后再执行LL旋转。
- RR（right-right）旋转，新添加的节点位于树的根节点的右子树的右子树上。以非平衡因子的节点为中心将整棵树向左旋转。
- RL（right-left）旋转，新添加的节点位于树的根节点的右子树的左子树上。先执行LL旋转，然后再执行RR旋转。
下面是这四种旋转的操作示意图，后面我们会详细介绍每一种旋转的操作过程：
对于LL旋转，在节点5的右子节点上添加节点4与在左子节点上添加节点3等同。对于LR旋转，在节点9的左子节点上添加节点8与在右子节点上添加节点10等同。对于RR旋转，在节点20的右子节点上添加节点25与在左子节点上添加节点18等同。对于RL旋转，在节点13的右子节点上添加节点14与在左子节点上添加节点12等同。
我们的自平衡二叉树AVLTree类将从BinarySearchTree类继承，同时我们需要新增一个方法getNodeHeight()用来获取任意节点的高度。
class AVLTree extends BinarySearchTree { constructor () { super(); } // 计算节点的高度 getNodeHeight (node) { if (node === null) return 0; return Math.max(this.getNodeHeight(node.prev), this.getNodeHeight(node.next)) + 1; }; }
测试一下getNodeHeight()方法，我们还是以本文一开始的那棵树为例，然后看一下不同节点的高度。
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(5); tree.insert(9); tree.insert(13); tree.insert(20); tree.insert(3); tree.insert(6); tree.insert(8); tree.insert(10); tree.insert(12); tree.insert(14); tree.insert(18); tree.insert(25); console.log(tree.getNodeHeight(tree.root)); // 4 console.log(tree.getNodeHeight(tree.search(7))); // 3 console.log(tree.getNodeHeight(tree.search(5))); // 2 console.log(tree.getNodeHeight(tree.min(7))); // 1
根节点的高度为4，最小节点3的高度为1，节点5和节点7的高度分别为2和3。
下面是四种旋转对应的实现代码：
/** * LL旋转: 向右旋转 * * b a * / / * a e -> rotationLL(b) -> c b * / / / * c d f d e * / * f * * @param node Node<T> */ rotationLL(node) { let tmp = node.prev; node.prev = tmp.next; tmp.next = node; return tmp; } /** * RR旋转: 向左旋转 * * a b * / / * c b -> rotationRR(a) -> a e * / / * d e c d f * * f * * @param node Node<T> */ rotationRR(node) { let tmp = node.next; node.next = tmp.prev; tmp.prev = node; return tmp; } /** * LR旋转: 先向左旋转，然后再向右旋转 * @param node Node<T> */ rotationLR(node) { node.prev = this.rotationRR(node.prev); return this.rotationLL(node); } /** * RL旋转: 先向右旋转，然后再向左旋转 * @param node Node<T> */ rotationRL(node) { node.next = this.rotationLL(node.next); return this.rotationRR(node); }
对于LL旋转和RR旋转，我们可以按照上面的示意图来看下执行过程。
LL旋转，node=11，node.prev是7，所以tmp=7。然后将node.prev指向tmp.next，即将11的prev指向9。接着将tmp.next指向node，即将7的next指向11。即完成了图中所示的旋转。
RR旋转，node=11，node.next是15，所以tmp=15。然后将node.next指向tmp.prev，即将11的next指向13。接着将tmp.prev指向node，即将15的prev指向11。即完成了图中所示的旋转。
LR旋转是RR旋转和LL旋转的组合：
RL旋转是LL旋转和RR旋转的组合：
按照上面给出的示意图，我们的AVLTree类的insert()方法的实现如下：
insert (key) { super.insert(key); // 左子树高度大于右子树高度 if (this.getNodeHeight(this.root.prev) - this.getNodeHeight(this.root.next) > 1) { if (key < this.root.prev.element) { this.root = this.rotationLL(this.root); } else { this.root = this.rotationLR(this.root); } } // 右子树高度大于左子树高度 else if (this.getNodeHeight(this.root.next) - this.getNodeHeight(this.root.prev) > 1) { if (key > this.root.next.element) { this.root = this.rotationRR(this.root); } else { this.root = this.rotationRL(this.root); } } }
我们依次测试一下这四种情况。按照上面示意图中树的结构添加节点，然后按照前序遍历的方式打印节点的key。
LL旋转的结果：
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(5); tree.insert(9); tree.insert(3); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
7 5 3 11 9 15
LR旋转的结果：
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(5); tree.insert(9); tree.insert(8); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
9 7 5 8 11 15
RR旋转的结果：
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(13); tree.insert(20); tree.insert(25); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
15 11 7 13 20 25
RL旋转的结果：
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(13); tree.insert(20); tree.insert(14); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
13 11 7 15 14 20
我们用同样的方式修改remove()方法，然后测试下面两种情况下的节点删除：
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(5); tree.insert(9); tree.remove(15); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
9 7 5 11
let tree = new AVLTree(); tree.insert(11); tree.insert(7); tree.insert(15); tree.insert(13); tree.insert(20); tree.remove(7); tree.preOrderTraverse((value) => console.log(value));
13 11 15 20
完整的自平衡二叉搜索树AVLTree类的代码如下：
1 class AVLTree extends BinarySearchTree { 2 constructor () { 3 super(); 4 } 5 6 // 计算节点的高度 7 getNodeHeight (node) { 8 if (node === null) return 0; 9 return Math.max(this.getNodeHeight(node.prev), this.getNodeHeight(node.next)) + 1; 10 }; 11 12 // 获取节点的平衡因子 13 14 /** 15 * LL旋转: 向右旋转 16 * 17 * b a 18 * / / 19 * a e -> rotationLL(b) -> c b 20 * / / / 21 * c d f d e 22 * / 23 * f 24 * 25 * @param node Node<T> 26 */ 27 rotationLL(node) { 28 let tmp = node.prev; 29 node.prev = tmp.next; 30 tmp.next = node; 31 return tmp; 32 } 33 34 /** 35 * RR旋转: 向左旋转 36 * 37 * a b 38 * / / 39 * c b -> rotationRR(a) -> a e 40 * / / 41 * d e c d f 42 * 43 * f 44 * 45 * @param node Node<T> 46 */ 47 rotationRR(node) { 48 let tmp = node.next; 49 node.next = tmp.prev; 50 tmp.prev = node; 51 return tmp; 52 } 53 54 /** 55 * LR旋转: 先向左旋转，然后再向右旋转 56 * @param node Node<T> 57 */ 58 rotationLR(node) { 59 node.prev = this.rotationRR(node.prev); 60 return this.rotationLL(node); 61 } 62 63 /** 64 * RL旋转: 先向右旋转，然后再向左旋转 65 * @param node Node<T> 66 */ 67 rotationRL(node) { 68 node.next = this.rotationLL(node.next); 69 return this.rotationRR(node); 70 } 71 72 insert (key) { 73 super.insert(key); 74 75 // 左子树高度大于右子树高度 76 if (this.getNodeHeight(this.root.prev) - this.getNodeHeight(this.root.next) > 1) { 77 if (key < this.root.prev.element) { 78 this.root = this.rotationLL(this.root); 79 } 80 else { 81 this.root = this.rotationLR(this.root); 82 } 83 } 84 // 右子树高度大于左子树高度 85 else if (this.getNodeHeight(this.root.next) - this.getNodeHeight(this.root.prev) > 1) { 86 if (key > this.root.next.element) { 87 this.root = this.rotationRR(this.root); 88 } 89 else { 90 this.root = this.rotationRL(this.root); 91 } 92 } 93 } 94 95 remove (key) { 96 super.remove(key); 97 98 // 左子树高度大于右子树高度 99 if (this.getNodeHeight(this.root.prev) - this.getNodeHeight(this.root.next) > 1) { 100 if (key < this.root.prev.element) { 101 this.root = this.rotationLL(this.root); 102 } 103 else { 104 this.root = this.rotationLR(this.root); 105 } 106 } 107 // 右子树高度大于左子树高度 108 else if (this.getNodeHeight(this.root.next) - this.getNodeHeight(this.root.prev) > 1) { 109 if (key > this.root.next.element) { 110 this.root = this.rotationRR(this.root); 111 } 112 else { 113 this.root = this.rotationRL(this.root); 114 } 115 } 116 } 117 }
尽管自平衡二叉搜索树AVL可以很有效地帮助我们解决许多树节点的操作问题，但是在插入和移除节点时其性能并不是最好的。更好的选择是红黑树，红黑树也是一种自平衡二叉搜索树，但是它对其中的节点做了很多特殊的规定，使得在操作树节点的性能上要优于AVL。
下一章我们将介绍如何用JavaScript来实现图这种非线性数据结构。