新学期开始了，这也是我在中大的最后一个学期了，课程上，这学期要同时硬刚微分几何、泛函分析和实变函数，据说这是数院最难的三门课。工作上要完成数院的毕业论文，估计答辩完之前都会是要手忙脚乱的状态，没多少能玩的时间。经历过寒假我觉得更新博客是学习上最有效率的方式，因此我尽量挤出时间对这几门课更新自己的理解，主要参考依据还是课程的内容。
微分几何主要是利用微积分的工具研究几何图形，与之对比的是，高中的圆锥曲线内容是从函数的角度研究几何图形。它分为两个部分，经典微分几何和整体微分几何，前者是研究曲线和曲面的局部性质的，即曲线和曲面在一点邻近的行为的性质，后者是指局部性质对整个曲线和曲面的行为影响。
第1周第1次课的内容涉及3个方面，参数曲线、内积和外积。
一、参数曲线
我们知道的是，三维向量$(x,y,z)$的集合构成了三维空间$R^{3}$，这个三维向量也称为三维坐标点，现在我们需要找到一些点的集合，使之构成一条三维曲线。
三维曲线在一定意义上是一维的，这是因为我们利用参数方程的形式表达曲线，下面先给出曲线的第一种定义。
Def1 (可微参数曲线，Parameterised differentable curves，PDC)从实直线$R$的一个开区间$I=(a,b)$到$R^{3}$中的一个可微映射$alpha ： I longrightarrow R^{3}$称为一条可微参数曲线。
P.S：可微是指，对于单个实变量的实函数，它在所有点都具有任意阶的导数，也可以说实函数是光滑的。
记号：
$$vec{alpha (t)} = ( x(t) , y(t) , z(t) )，where t in I , I in (a,b)$$
$$a和b分别有可能为-∞和+∞，t称为参数，简写为alpha：I longrightarrow R^{3}$$
第二个给出的是切向量的定义。
Def2 (切向量，tangent vectors)记$x^{'}(t)$为$x$在$t$点的一阶导数，并且对函数$y$和$z$采用类似的记号，那么向量$vec{alpha ^{'} (t)} = (x^{'}(t),y^{'}(t),z^{'}(t)) in R^{3}$称为曲线$alpha$在$t$点的切向量(速度向量)，像集$vec{alpha (I)} subset R^{3}$称为$alpha$的轨迹。
再给出正则曲线的定义，然后我们就可以给出一些例子了。
Def3 (正则曲线，Regular Parameterised differentable curves，RPDC)设$alpha : I longrightarrow R^{3}$为可微参数曲线，对每个$t in I$，如果$vec {alpha ^{'} (t)} eq 0$，那么可以定义一条包含点$vec {alpha (t)}$和向量$vec {alpha ^{'}(t)}$的直线，又称为$alpha$在$t$点的切线。并且称$vec {alpha ^{'} (t)} = 0$的点$t$为$alpha$的奇点，我们称没有奇点的可微参数曲线为正则可微参数曲线。
Exm4 可微参数曲线$$vec{alpha (t)} = (cost , sint , t) , t in R$$的轨迹是柱面$x^{2} + y^{2} = 1$上间距为$2π$的螺旋线，参数$t$是$x$轴与连接原点O和点$alpha (t)$在$xy$平面上的投影的直线的夹角。
Exm5 映射$$alpha: R ightarrow R^{2} , vec{alpha (t)} = (t^{3},t^{2}) , t in R$$是可微参数曲线，轨迹如下：
二、内积
设$vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) in R^{3}$，并且定义它的范数为$$|vec u| = sqrt{u_{1}^2+u_{2}^2+u_{3}^2}$$其几何意义为从点$(u_{1},u_{2},u_{3})$到原点$O=(0,0,0)$的距离。
Def6 (内积，Inner Product，Scalar Product)令$vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) ，vec v=(v_{1},v_{2},v_{3}) in R^{3}$，设$ heta , 0 leq heta leq π$，它是线段$Ou$和$Ov$形成的夹角，内积$vec u cdot vec v$定义为$$vec u cdot vec v = |vec u||vec v|cos heta$$
内积成立以下的性质
Thm7 (内积的性质)
1. 假设$u$和$v$是非零向量，则当且仅当$vec u$与$vec v$正交时，$vec u cdot vec v =0$
2. $vec u cdot vec v = vec v cdot vec u$
3. $lambda (vec u cdot vec v) = lambda vec u cdot vec v = vec u cdot lambda vec v$
4. $vec u cdot (vec v+vec w) = vec u cdot vec v + vec u cdot vec w$
5. 如果$vec {u(t)}$和$vec {v(t)}$都是正则曲线，那么有$frac {d}{dt}(vec {u(t)} cdot vec {v(t)}) = vec {u^{'}(t)} cdot vec {v(t)} + vec {u(t)} cdot vec {v(t)}$
P.S：当确定基$vec {e_{1}} = (1,0,0)，vec {e_{2}} = (0,1,0)，vec {e_{3}} = (0,0,1)$，记$$vec u = u_{1}e_{1}+u_{2}e_{2}+u_{3}e_{3}，vec v = v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+v_{3}e_{3}$$那么可以得到$$vec u cdot vec v = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$$
三、外积
首先我们继续沿用在内积中定义好的基，这组基也叫作自然正交基，同样地，记设$vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) in R^{3}$和$vec v=(v_{1},v_{2},v_{3}) in R^{3}$，
Def8 (外积，Outer Product，Vector Product)外积定义为如下形式：$$egin{array} vec u wedge vec v =& left | egin{array}{cccc} e_{1} & e_{2} & e_{3} \ u_{1} & u_{2} & u_{3} \ v_{1} & v_{2} & v_{3} \ end{array} ight | \ =& left | egin{array}{cccc} u_{2} & u_{3} \ v_{2} & v_{3} \ end{array} ight | e_{1} - left | egin{array}{cccc} u_{1} & u_{3} \ v_{1} & v_{3} \ end{array} ight | e_{2} + left | egin{array}{cccc} u_{1} & u_{2} \ v_{1} & v_{2} \ end{array} ight | e_{3} \ end{array}$$
此外，$vec u wedge vec v$还有一个长度计算公式：$$|vec u wedge vec v| = |vec u ||vec v|sin heta $$
外积还有如下和内积相类似的性质。
Thm9 (外积的性质)
1. $vec u wedge vec v = - vec v wedge vec u$
2. $lambda ( vec u wedge vec v) = (lambda vec u) wedge vec v = vec u wedge (lambda vec v) $
3. $vec u wedge (vec v + vec w) = vec u wedge vec v + vec u wedge vec w$
4. 如果$vec u , vec v eq 0$，则$vec u wedge vec v = 0 leftrightarrow vec u || vec v$
5. 如果$vec {u(t)} , vec {v(t)}$是两个正则可微参数曲线，那么有$$frac{d}{dt}(vec {u(t)} wedge vec {v(t)}) = vec{u^{'}(t)} wedge vec{v(t)} + vec{u(t)} wedge vec{v^{'}(t)}$$
从上面的计算公式可以看到外积的计算结果是一个向量，其大小已经有了计算公式，那么怎么计算它的方向呢，我们的依据是右手定则，套用一下百度百科的图。
最后我们讨论一下叉积和点积的一些公式，它们又称为向量积的性质。
Thm10 (向量积的性质)记$vec u,vec v,vec w in R^{3}$
1. $(vec u wedge vec v) cdot vec w = det(vec u,vec v,vec w) = left | egin{array}{cccc} u_{1} & u_{2} & u_{3} \ v_{1} & v_{2} & v_{3} \ w_{1} & w_{2} & w_{3} \ end{array} ight |$
2. $(vec u wedge vec v) cdot vec u = 0,(vec u wedge vec v) cdot v = 0$
3. $(vec u wedge vec v) wedge w = (vec u cdot vec w)cdot v - (vec v cdot vec w)cdot vec w$
周三会更新第1周第2次课的内容。