N皇后问题的一种解法

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之前网上看到很多关于N皇后问题的解法，大都比较难懂也不易记住，今天分享下比较易懂的一个解法:

我们定义要求如下，给定一个n*n方格的棋盘，每一行放一个皇后，要求满足任一皇后所在的列及斜边上都不能有其他皇后存在，然后将所有解法打印出来，要求打印出n*n的字符矩阵，皇后的位置用“Q”表示，空格用“.”表示。拿4皇后来说，其中一个解如下图，需要满足的要求是行、列、斜边上都不能有其他皇后存在。

 

理解了题目要求后，现在分析题目的解法。要求给出所有可能的解，需要从第一行开始，逐行、逐列求解满足要求的行与列的序号，记录下符合的解，最后按格式输出。而每一次的判断都需要依赖之前合法的皇后放置结果，第i+1行所有列执行判断后，需要回到第i行，继续第i行下一列的判断，一个完整的解为当已经判断到最后一行，而此时最后一行的第j列符合要求，则此时的记录中为一个合法的解。直到所有行所有列的情况都判断完成，求解结束。所以这个问题适合用深度优先遍历的方式来解，从首行首列开始，优先向深度方向即向下一行搜索，下一行则遍历各列，找到第一个符合要求的列后即再向下一行也就是深度方向搜索……

用伪代码表示过程大致如下：

dfs (row) {
  if (row == n) {
    printOneSolver()
    return;
  }
  
  for (col in n) {
    if (valid(row, col) {
      addToValidConditions(row, col)
      dfs(row + 1）
      removeFromValidConditions(row, col)
    }
  }
}
//说明：这里的row和col表明是与行列有关，真正的参数由行列引申而来。

上述伪码描述了大致的过程，便于整体上理解思路，接下来介绍如何判断合法性。先说行的判断，因为每行只能放置一个皇后，又是以行为深度向下遍历，所以一个合法的解其实只需要有n个列值信息就可以表示，比如其中一个合法解的列值为[1, 3, 0, 2]（0表示第一列），这个解表示皇后放在第1行第2列，第2行第4列，第3行第1列，第4行第3列，因此行信息是不需要单独列出的。这个时候得出一个关键数据，就是用一个有序的数据结构来表示列，序号即为所在行，而该序号下的值为所在列，这个结构我们称为cols。

行不需要单独判断，而列有了如上数据结构表示，那就剩下斜边的判断了，画个图来说明一下斜边的判断如何做。

 

 

以左上角为坐标原点，向下表示行，向右表示列，从图上可以看到两个斜边其实是斜率为1和-1的两条直线，而在不同的皇后位置的斜边表示都是x+y=a和x-y=b的形式，a和b其实也就是截距，x和y就是行、列值，因此我们可以借助两个数据结构分别表示目前已经被占用的斜边，x+y的形式我们称为xySum，而x-y的形式，我们就称为xyDiff。

到目前我们得出合法的判断条件就是当前列不在cols中且行列之和不在xySum中且行列之差不在xyDiff中。这里需要注意一点，当合法时要将条件放入这几个结构，进行dfs，而dfs结束后，要还原为之前的状态，以便进行下一列的判断，这在伪代码中也有说明。

最后说下结果的打印，按要求的方式打印时我们仍以其中一个解为例来说明，[1, 3, 0, 2]，对于该解其打印结果应为：

.Q..
...Q
Q...
..Q.

这里给出列序号如何拼接该行的输出，如当前列值为1，则表示皇后在第2列（列号从0开始），那么在皇后之前就有1个“.”，然后是“Q”，再然后是n-列序号-1个“.”，用公式表示如下，col代表列序号：

".".repeat(col) + "Q" + ".".repeat(n - col - 1)

为了输出后对于我们观察更直观，我们在字符后多加个空格，会更方便观察，所以改为如下公式：

". ".repeat(col) + "Q " + ". ".repeat(n - col - 1)
//输出相应如下
. Q . .
. . . Q
Q . . .
. . Q .

最后给出完整实现：

public void solveNQueens(int n) {
    dfs(n, new ArrayList<>(), new HashSet<>(), new HashSet<>());
}

/**
 * @param n 棋盘大小，也是皇后的数量
 * @param cols 存放当前合法的列序号，其size的大小表示当前已经遍历的行数
 *             而其值正好是要进行遍历的下一行
 * @param xySum 行列之和，用Set存放
 * @param xyDiff 行列之差，用Set存放
 */
private void dfs(int n, List<Integer> cols, Set<Integer> xySum, Set<Integer> xyDiff) {
    //当cols.size为n时，表明每一行都可以合法放置一个皇后，得到一个合法解
    if (cols.size() >= n) {
        printOneSolver(cols);
        return;
    }
    
    int row = cols.size();
    for (int col = 0; col < n; col++) {
        if (!cols.contains(col) 
              && !xySum.contains(row + col) 
              && !xyDiff.contains(row - col)) {
            cols.add(col);
            xySum.add(row + col);
            xyDiff.add(row - col);
            dfs(n, cols, xySum, xyDiff);
            cols.remove(Integer.valueOf(col));
            xySum.remove(Integer.valueOf(row + col));
            xyDiff.remove(Integer.valueOf(row - col));
        }
    }
}

private void printOneSolver(List<Integer> cols) {
    for (int i = 0; i < cols.size(); i++) {
        System.out.println(". ".repeat(cols.get(i))
                + "Q "
                + ". ".repeat(cols.size() - cols.get(i) - 1));
    }
    System.out.println();
}

以4皇后为例，输出如下：

. Q . . 
. . . Q 
Q . . . 
. . Q . 

. . Q . 
Q . . . 
. . . Q 
. Q . .

思路是这样，如果更换数据结构和判断的具体写法，效率上可能会高一点。之前也有看过说N皇后问题用位运算解决会更高效，位运算的解法完成之后将作为相关主题补充在文章末尾。