数三角形

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(O(nmlogn))

首先，我们处理本题，对于正向思维，即将所有的满足题意的三角形直接数出并不容易实现，我们可以考虑从反面入手，只要从所有的情况中减去不合法的情况即可

对于一条横向的线，不合法的数量为 (C(m+1,3)) ，同理，对于一条竖直的线，不合法的数量即为 (C(n+1,3)) 个

对于一条斜向的线，我们可以从两个点之间的距离入手，考虑这两个点之间不合法情况的数量，对于横向距离为 (i) , 对于纵向距离为 (j) 三角形，一共有 ((m-i+1) imes (n-j+1)) 个，其中每个三角形对于不合法的数量的贡献为: (gcd(i,j)-1) ，同时，我们用这种方式只能处理出斜率非负的情况，再将其乘以 (2) 即可

复杂度： (O(nmlogn))

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#define ll long long

const ll maxn=1e3+10;
ll n,m;
ll vis[maxn][maxn];

inline ll cal(ll x)
{
	if(x<3) return 0;
	return x*(x-1)*(x-2)/6;
}

inline ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

int main(void)
{
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	
	ll sum=cal((n+1)*(m+1));
	
	sum-=cal(n+1)*(m+1);
	sum-=cal(m+1)*(n+1);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	 	for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			sum-=(n-i+1)*(m-j+1)*(gcd(i,j)-1)*2;
		}
	}
	
	printf("%lld
",sum);
	
	return 0;
}

(O(n))

我们可以考虑对于斜着的线的计数方案，即：

[displaystyle sum_{i=1}^{n}{displaystyle sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1)(gcd(i,j)-1)}} ]

那么，我们可以用 (id) 函数改写为：

[displaystyle sum_{i=1}^{n}{displaystyle sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1)[id(gcd(i,j)-1)]}} ]

卷开即得：

[displaystyle sum_{i=1}^{n}{displaystyle sum_{j=1}^{m}{(n-i+1)(m-j+1) displaystyle sum_{d|gcd(i,j)}^{d eq 1}{varphi(d)}}} ]

变更枚举顺序得：

[displaystyle sum_{d=2}^{min(n,m)}{varphi(d) displaystyle sum_{i=1}^{lfloor{frac{n}{d}} floor}{(n-i imes d +1 )} displaystyle sum_{j=1}^{lfloor{frac{m}{d}} floor}{(m-j imes d +1 )}} ]

对于式 (displaystyle sum_{i=1}^{lfloor{frac{n}{d}} floor}{(n-i imes d +1 )}) ，显然即为一个等差数列求和，其首项为 (n-1 imes d+1) ，末项为 (n- lfloor{frac{n}{d}} floor imes d +1) ，则和为

[((n-1 imes d+1)+(n- lfloor{frac{n}{d}} floor imes d +1)) imes lfloor{frac{n}{d}} floor imes frac{1}{2} ]

即为：

[{(n-d+(n mod d)+2)} imes lfloor{frac{n}{d}} floor imes frac{1}{2} ]

故总和为：

[frac{1}{4} displaystyle sum_{d=2}^{min(n,m)}{varphi(d)}{{(n-d+(n mod d)+2)} imes lfloor{frac{n}{d}} floor}{{(m-d+(m mod d)+2)} imes lfloor{frac{m}{d}} floor} ]

则线性筛预处理欧拉函数后 (O(n)) 求和即可

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long

const ll maxn=1e3+10;
ll n,m,tot,sum,ans;
ll phi[maxn],vis[maxn],prime[maxn];

inline ll cal(ll x)
{
	if(x<3) return 0;
	return x*(x-1)*(x-2)/6;
}

inline void pre(ll x)
{
	phi[1]=1;
	
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			vis[i]=1;
			prime[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=x;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

int main(void)
{
	scanf("%lld %lld",&n,&m);
	
	pre(maxn-5);
	
	ans=cal((n+1)*(m+1));
	ans-=cal(n+1)*(m+1);
	ans-=cal(m+1)*(n+1); 	
	
//	for(int i=1;i<=100;i++)
//	{
//		printf("%lld
",phi[i]);
//	}
	
	for(int i=2;i<=std::min(n,m);i++)
	{
		sum+=phi[i]*(n-i+(n%i)+2)*(n/i)*(m-i+(m%i)+2)*(m/i)/2;
	}
	
//	printf("%lld
",sum);
	
	printf("%lld
",ans-sum);
}