原根

Definition

• 指数：设 (m>1) 为整数， (a) 为与 (m) 互素的数，则使得 (a^e equiv 1 (mod m)) 成立的是最小正整数 (e) 叫做 (a) 对模 (m) 的指数，记作 (ord_{m}{a})

• 原根：若 (a) 对 模 (m) 的指数为 (varphi(m)) ，则 (a) 叫做模 (m) 的原根

定理

1. 设 (m>1) 是整数，(a) 是与 (m) 互素的整数，则整数 (d) 使得 (a^d equiv 1 (mod m)) 成立的充分必要条件为 (ord_m(a) | d)

2. 设 (m>1) 是整数，(a) 是与 (m) 互素的整数，则

   [1 = a^0 , a , ....... , a^{ord_m(a)-1} ]

   模 (m) 两两不同于，特别的，当 (a) 为 (m) 的原根时，有 (ord_m(a) = varphi(m)) ，这 (varphi(m)) 个数组成模 (m) 的简化剩余系

3. 设 (m>1) 是整数，(a) 是与 (m) 互素的整数，设 (d) 为非负整数，则

   [ord_m{(a^d)} = frac{ord_m(a)}{(d,ord_m(a))} ]

   故有推论：设 (m>1) 是整数，(g) 是模 (m) 的原根，设 (d geq 0) 为整数，则 (g^d) 为模 (m) 的原根当且仅当 ((d,varphi(m)) = 1)

4. 设 (m>1) 是整数，如果模 (m) 存在一个原根 (g) ，则模 (m) 的原根有 (varphi(varphi(m))) 个不同的原根

5. 设 (m>1) 是整数，(a) , (b) 是与 (m) 互素的整数，如果 ((ord_m(a),ord_m(b)) = 1) ，则

   [ord_m(a,b) = ord_m(a) · ord_m(b) ]

   成立，反之亦然

6. 设 (m,n>1) 是整数，(a) 是与 (m) 互素的整数，则：若 (n|m) ，则 (ord_n(a) | ord_m(a))

   同时，若 ((n,m) =1) ，则

   [ord_{mn}(a)=[ord_m(a),ord_n(a)] ]

7. 模 (p) 原根存在的充要条件为 (m=2 , 4 , p^a , 2p^a)

例题

• link

分析

对于本题，首先我们可以应用定理7，那么所有的不能表示为 (2,4,p^a,2p^a) 的数都没有原根

其次，我们可以求出最小原根，然后通过定理3的推论，将所有的原根求出

那么如何求最小原根呢，首先想到的方法便是直接扫描判断，一般而言，这个方法就已经很好了，因为大部分数的最小原根要么没有，要么很小

那么判断时，我们枚举到的当前数字 (g) ，显然有 (g^{varphi(m)} equiv 1 (mod m)) （欧拉定理），那么，我们可以应用定理1，将 (varphi(m)) 进行质因数分解，设其质因数为(p_i)，如果 (g) 是 (m) 的一个原根，那么它的(frac{varphi(m)}{p_i}) 次方必然在模 (m) 意义下不为 (1) ， 对于所有质因子都满足上述条件的 (g) ，即为最小原根

Solution

通过分析，我们可以先用线性筛将 (varphi(i)) 的大小以及有原根的数筛选出来

之后，我们就可以通过依次判断求得最小原根，然后从 (1) ~ (varphi(m)) 进行枚举，挑选出其中与 (varphi(m)) 互素的数作为指数，利用快速幂处理得到其他的原根

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long

const ll maxn=1e6+10;
ll t,n,cnt,d,tot,sum;
ll vis[maxn],prime[maxn],phi[maxn],yg[maxn],yz[maxn],ans[maxn];

inline void cle()
{
	tot=sum=0;
}

inline ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

inline void pre(ll x)
{
	phi[1]=1;
	
	for(int i=2;i<=x;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			vis[i]=1;
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		
		for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=x;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
						
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
	
	yg[2]=yg[4]=1;
	
	for(int i=2;i<=cnt;i++)
	{
		for(int j=1;j*prime[i]<=x;j*=prime[i]) yg[j*prime[i]]=1;
		for(int j=2;j*prime[i]<=x;j*=prime[i]) yg[j*prime[i]]=1;
	}
}

inline ll ksm(ll a,ll b,ll p)
{
	ll ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ret=ret*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return (ret%p);
}

inline void fj(ll x)
{
	for(int i=1;i<=cnt&&prime[i]<=x;i++)
	{
		if(x%prime[i]==0) yz[++tot]=prime[i];
	}
}

inline ll check(ll ds,ll x)
{
	if(ksm(ds,phi[x],x)!=1) return 0;
	
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		if(ksm(ds,phi[x]/yz[i],x)==1) return 0;
	}
	
	return 1;
}

inline ll getyg(ll x)
{	
	for(int i=1;i<=x;i++)
	{
//		printf("123 %lld
",i);
		if(check(i,x))
		{
			return i;
		}
	}
	
//	return 0;
}

inline void qj(ll p,ll x)
{
	ll ret=1;
	
	for(int i=1;i<=phi[p];i++)
	{
		ret=ret*x%p;
		
		if(gcd(i,phi[p])==1) ans[++sum]=ret;
	}
}

int main(void)
{
//	freopen("2.in","r",stdin);
//	freopen("2.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&t);
	
	pre(maxn-10);
	
	while(t--)
	{
		cle();
		
		scanf("%lld %lld",&n,&d);
		
		fj(phi[n]);
		
//		printf("qaq %lld
",tot);
//		printf("qwq %lld
",phi[n]);
		
		if(!yg[n])
		{
			printf("0

");
			continue;
		}
		
		ll minn=getyg(n);
		
//		printf("zzz %lld
",minn);
		
		qj(n,minn);
		
		std::sort(ans+1,ans+sum+1);
		
		printf("%lld
",sum);
		
		for(int i=d;i<=sum;i+=d)
		{
			printf("%lld ",ans[i]);
		}
		
		printf("
");
	}
	
	return 0;
}