平方根的计算

二分法

原理：对于一个数n,可以定义一个函数，我们很容易知道当时，

           所以可以在[0,n]之间或[n,1]之间进行二分逼近

代码：

public static double sqrt(double n) {

/*
 * 注意需要判断一下N是否大于1 当N>=1时，其二分区间是[0，N] 但当N<1时，其二分区间是[N,1]
*/
    if (n < 1) {
	x0 = n;
	x1 = 1;
     } else  x1 = n;

    while (Math.abs(n - middle * middle) > 1e-9) {

	middle = (x0 + x1) / 2.0;

	if (middle * middle > n) {
		x1 = middle;
			
        } else  x0 = middle;
			
     }

    return middle;
}

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牛顿-拉弗森方法

原理：利用导数的定义

首先，选择一个接近函数 f(x) 零点的 x0，计算相应的 f(x0)和切线斜率f′(x0)（这里 f′ 表示函数 f 的导数）。然后我们计算穿过点 (x0,f(x0)) 并且斜率为 f′(x0) 的直线和 x 轴的交点的 x

坐标，也就是求如下方程的解：

f(x0)=(x0−x)f′(x0)

我们将新求得的点的x坐标命名为 x1

通常 x1 会比 x0 更接近方程 f(x)=0 的解,因此我们现在可以利用 x1开始下一轮迭代。

迭代公式可化简为如下所示：xn+1=xn−f(xn)f′(xn)

已经证明，如果 是连续的，并且待求的零点 x 是孤立的，那么在零点 x 周围存在一个区域，只要初始值 x0 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果 f′(x) 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

对于求解实数平方根的函数

自然其根的迭代公式为：

代码：

	System.out.println("牛顿法");
		middle = n/2;
		while (Math.abs(n - middle * middle) > 1e-9) {
			middle = middle/2+n/(2*middle);
			System.out.println("middle="+middle);
		}