RMQ算法使用ST表实现

RMQ

---

RMQ (Range Minimum Query)，指求区间最小值。普通的求区间最小值的方法是暴力。

对于一个数列：

[A_1,~ A_2,~ A_3,~ cdots,~ A_n ]

对于一个给定的区间([l, ~r], ~1≤ l ≤r ≤ n)，(min {A_l, A_{l + 1}, cdots,A_r})的计算就是RMQ问题。

此解法为( ext{Sparse-Table})解法，简称(ST)表。

• 预处理：预处理为对数据进行(nlog n)的时间复杂度的处理

  令(d(i, j ))为(A_i, A_{i + 1}, cdots, A_{i + 2^j - 1})的最小值，即(d(i, j))的区间长度为(2^j)，这里用到的是倍增的思想。

  则(d(i, j - 1))为(A_i, A_{1 + 1}, cdots, A_{i + 2^{j - 1}-1})的最小值，区间长度为(2^{j-1})

  同样地(d(i + 2^{j - 1}, j - 1))表示的是(A_{i + 2^{j-1}}, A_{i + 2^{j - 1} + 1}, cdots, A_{i + 2^{j-1} + 2 ^{j - 1} - 1 = i + 2^j - 1})。

  所以显而易见：(d(i, j))可以表示为：

  [d(i,j) = min {d(i, j - 1), ~d(i + 2^{j - 1}, j - 1)} ]

• 查询：

  令(k)为满足(2 ^ k ≤ R - L+ 1)的最大整数，即(k = max{t~|~2^t ≤ R - L + 1, t in mathbb Z^+})。

  同样地：(k =[ log_2 (R-L + 1)])，所以：(operatorname{Query}(L,R) = min {d(L,k),~d(R - 2^k + 1, k})

  查询的时间复杂度为(O(1))。

注意：由于每次(pow(2,x))非常浪费时间，在计算机内部二进制可以表示为：(1 << x)。

代码：

namespace RMQ {
  	
  	void init(int n) {
      	for (int i = 1; i <= n; i ++) d[i][0] = a[i];
				for (int j = 1; (1 << j) <= n; j ++) {
          	for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i ++) {
								d[i][j] = min(d[i][j - 1], d[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
    }
          
		int query(int l, int r) {
      	int k = log2(r - l + 1);
      	return min(d[l][k], d[r - (1 << k) + 1][k]);
    }
          
}

注意：init中的循环顺序不能颠倒，显而易见，(j)的值，即区间的长度，必须由小到大。