基本矩阵与本质矩阵
基本矩阵与本质矩阵的数学推导：
假设空间中一点(P = [X, Y, Z]^T)。
P在相机A相平面坐标为(P_A = [x_A, y_A, 1]^T);
P在相机B相平面坐标为(P_B = [x_B, y_B, 1]^T);
相机A与相机B的内参矩阵为(K)，即可以假设A、B是同一个相机，但是空间位姿不同。
假设：
- (P_A = K · (R_A · P + T_A)) （0）
- (P_A = K · P) （1）
即，设(P)相对与相机A的旋转矩阵(R_A)与平移矩阵(T_A)为初始值（(R_A = I, T_A = 0)），因为总要有一个参考系，此处就是假设相机A为参考系。
对相机B又可以得到：
- (P_B = K · (R_B · P + T_B)) （2）
此处，(R_B)、(T_B)示在(P)相机B坐标系的相对于在相机A（初始）坐标系下的旋转与平移。
由（1）得到(P = K^{-1} · P_A) ，
代入（2）得到：
- $P_B = K · (R_B · K^{-1} · P_A + T_B) $ （3）
给"="左右左乘上(K^{-1})，则有：
- (K^{-1} · P_B = R_B · K^{-1} · P_A + T_B) （4）
左右左乘(T_{Bx}) （ (T_{Bx}) 满足 (T_{Bx} · C = T_B imes C)）消去(T_B)，得到：
- (T_{Bx} · K^{-1} · P_B = T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A) （5）
对（5）左右左乘((K^{-1} · P_B)^T)得到：
- ((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · K^{-1} · P_B = (K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A) （6）
由于(T_{Bx} · (K^{-1} · P_B)) 垂直与 (T_B) 与((K^{-1} · P_B)) ，所以（6）“=” 左边为0， 即：
- ((K^{-1} · P_B)^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0) （7）
整理得：
- (P_B^T · {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1} · P_A = 0) （8）
得到的（8）即为最终表达式，又：
- (F = {K^{-1}}^T · T_{Bx} · R_B · K^{-1}) （基础矩阵）
- (E = T_{Bx} · R_B) （本质矩阵）
从而，(B^T · F · P_A = 0) （×）
极线推导：
对（×），可以知道，不同两个位姿拍摄的同一地点的两个（或一个）相机，获取的基础矩阵(F)是固定的。
那么，不妨代入一已知点(P_t = [x_t, y_t, 1]^T)，令(P_A = P_t)，得：
- (P^T · F · P_t = 0) （9）
其中(F)为[3 x 3]矩阵，(P_t)为[3 x 1]矩阵，那么(F · P_A) 为一个[3 x 1]矩阵，记为(Q = [fp_1, fp_2, fp3]^T)
又(P^T) 为 [1 x 3]矩阵，(P^T = [x, y, 1])，则(P · Q = 0)展开为：
- (x imes fp_1 + y imes fp_2 + fp_3= 0) （10）
因(Q)为已知，故（10）为二元一次方程，可以确定一条直线，称为极线