康托展开

        最近在搞新加坡的NOI2012的题，其中第二题Pancake可以用BFS解决，不过现在正在研究盖茨的《Bounds For Sorting By Prefix Reverse》，等研究出来一些成果会发布。目前能搞定的是BFS算法， 好在n最大为8，枚举量最多为8!，虽说有每个测试点可能有6000个测试数据，但还算可以接受。在BFS中，可以利用康托展开进行优化，本文主要对康托展开进行一下介绍。

        康托展开是一个全排列到自然数的双射，康托展开其实计算的是当前排列在全排列中由小到大的顺序（最小的顺序编号为0）。而且可以通过逆运算还原原值。

        康托展开公式：X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0!（其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n，a[i]指比第i个数字（姑且设为x）小（从右向左数）小且没在从左起到x之间出现过的数字的个数，换句话说，a[i]也就是从右数第i个数字的右面比它小的数字的个数）

        这样说这个公式可能让人难以理解，我们还是举一个例子吧。

        比如下面这个排列：3 5 7 4 1 2 9 6 8，第一个数是3，在3的右面有两个比它小的数，所以a[i]=2，第一项为2*8!，第二项是5，在5的右面有3个比它小的数，所以第二项是3*7!...以此类推，所以这个排列的康托展开2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884

        由于阶乘的出现，很明显在实际应用的过程中，n在10以内适用康托展开，因为如果n比较大的话，阶乘值也会很大，那么使用康托展开进行排列优化的意义就不大了，而且计算机存储也颇为不便。

        下面将给出把一个排列（排列的元素为从1~n）转化为康托展开和把康托展开转化成排列的C++程序：

//cantor.cpp by JerryXie

#include<cstdio>
using namespace std;

int n,bin[11],a[50001],b[50001],num;
bool t[50001];

void create() //初始化0~10的阶乘值
{
  int i;
  bin[0]=1;
  bin[1]=1;
  for(i=2;i<=10;i++)
    bin[i]=bin[i-1]*i;
}

void atonum() //排列转换为值
{
  int i,j;
  for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=i+1;j<=n;j++)
      if(a[i]>a[j])
        b[i]++;
  num=0;
  for(i=1;i<=n;i++)
    num+=b[i]*bin[n-i];
}

void numtoa() //值转换为排列
{
  int i,yushu,div,temp;
  void translate();
  temp=num;
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    div=temp/bin[n-i];
    yushu=temp%bin[n-i];
    b[i]=div;
    temp=yushu;
  }
  b[n]=0;
  translate();
}

void translate() //计算出的结果转化为原始值
{
     int i,j,s;
     for(i=0;i<=n+1;i++)
       t[i]=true;
     a[1]=b[1]+1;
     t[a[1]]=false;
     for(i=2;i<=n;i++)
     {
       s=0;
       for(j=1;j<=n;j++)
         if(t[j]==true)
         {
           s++;
           if(s==b[i]+1)
           {
             a[i]=j;
             t[j]=false;
             break;
           }
         }
     }
}

int main() //主函数
{
    freopen("cantor.in","r",stdin);
    freopen("cantor.out","w",stdout);
    int i,sign;
    create();
    scanf("%d",&sign);
    if(sign==1) //排列转换为值
    {
      scanf("%d",&n);
      for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
      atonum();
      printf("%d",num);
    }
    else //值转换为排列
    {
      scanf("%d",&n);
      scanf("%d",&num);
      numtoa();
      for(i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",a[i]);
    }
    return 0;
}

欢迎鄙视。