笔试题计算组合数

写程序，能够计算组合数 。

首先想到的是写一个求阶乘的函数，然后再另一个函数中对其调用以计算该组合数。这个思路没有问题，但是能写好代码也不是件容易的事，而且我们应该意识到，招聘方的这道简单的问题很显然是需要我们尽量写得完整的，而不是象征性写出思路，因此，必要的健壮性是要体现出来的。很多人的程序如下：

    private static int factorial(int n){

       int ret=1;

       for(int i=2;i<=n;ret*=i++);

       return ret;

    }

   

    public static int combination1(int all,int select){

       return factorial(all)/factorial(select)/factorial(all-select);

    }

在这段程序中，由于没有任何容错机制，所以肯定是得不到高分的。另外还有个别人在第二个函数中的语句写成了：

       return factorial(all)/factorial(select)*factorial(all-select);

这样粗心的错误直接会被判0分，基本上就不会再进入下一轮了。

加入了容错检查的程序如下：

    private static int factorial(int n){

       if (n<0)

           throw new InvalidParameterException();

      

       int ret=1;

       if (n==0 || n==1)

           return ret;

       else

           for(int i=2;i<=n;ret*=i++);

      

       return ret;

    }

   

    public static int combination1(int all,int select){

       if (select>all || all<=0 || select<=0)

           throw new InvalidParameterException();

      

       if (select==all)

           return 1;

      

       return factorial(all)/factorial(select)/factorial(all-select);

    }

这样这个基本思路的代码就算差不多了，这道题的及格分也就够了。

但是，在众多及格分的成绩中要想获得机会，还是需要再继续改进的。也有的是面试官不断的提出新的需求，比如：如果保持程序中使用int类型不变，那么上述阶乘的计算函数只能算到大约12！，还能进一步提高这个数值吗？或者如果让你提高这段代码的运行效率，你要用什么思路优化？

类似这样问题的提出，就是考验应聘者的时候了，经过分析，优化的空间可以通过原表达式约分实现。在原表达式中，必然有一部分阶乘是重复计算的，而且n！决定了可计算的最大值，如果能把这些重复的计算去掉，把阶乘运算去掉，很显然不仅效率能提高，而且可计算的范围也将变大。

参考程序如下：

    public static int combination2(int all,int select){

       if (select>all || all<=0 || select<=0)

           throw new InvalidParameterException();

      

       int ret=1;

       int begin=0;

       if (all==select)

           return ret;

      

       //从1-begin之间的数被约分掉以简化计算

       if (select<all-select)

           begin=all-select+1;

       else

           begin=select+1;

      

       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);    //计算分子

       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--); //被分母除

      

       return ret;

    }

如果能第一次就写成这种思路，很显然，我们的机会会更多。

再来接受一下考验，如果面试官要求你再提供思路来优化运行效率，这时我们还要继续思考，比如把已经运算的结果缓冲起来，当再有相同的参数要求运算时直接从缓冲区返回算好的结果，将比重新运算要快。利用该思路，我们改造上边的函数，形成如下代码：

    private static Map<String,Integer> mapTable=new HashMap<String,Integer>();

……

    public static int combination3(int all,int select){

       if (select>all || all<=0 || select<=0)

           throw new InvalidParameterException();

      

       int ret=1;

       int begin=0;

       if (all==select){

           return ret;

       }

      

       String tableKey=new String(all+","+select);

       Integer tableValue=mapTable.get(tableKey);

       if (tableValue!=null)

           return tableValue.intValue();

      

       if (select<all-select){

           begin=all-select+1;

       }

       else{

           begin=select+1;

       }

      

       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);

       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);

      

       mapTable.put(tableKey, Integer.valueOf(ret));

      

       return ret;

}

利用一个Map作为缓冲区以保存曾经计算好的结果，典型的空间换时间的思路，但已经能让面试官满意的了。

但是，面试官的问题是会一直延续下去的，他思路的过程也应该是我们写代码思路的过程，因此，新的问题可能是：用HashMap不一定能提高效率，反而会降低效率，能说说是什么原因吗？如果不用HashMap，那用什么容器做缓冲区能更高效？

其实，用HashMap，如果像上文程序那样使用String作为Key，则每次检索时的Hash运算都会耗掉很多时间，自然，如果不采用这种额外的寻址算法，才能达到预期的目的。常用的方式就是采用表格，将算好的结果以某种简单的方式存入到表格中，或者如果运算的数据范围在合适的范围内，也可以预先把表格定好，这样就减少了寻址带来的损失了。为了简单起见，下面的代码使用了数组代替前面的Map。

    private static int[] intTable;

    ……

    public static int combination4(int all,int select){

       if (select>all || all<=0 || select<=0)

           throw new InvalidParameterException();

      

       int ret=1;

       int begin=0;

       if (all==select){

           return ret;

       }

      

       if (intTable!=null && intTable[select]!=-1)

           return intTable[select];

      

       if (select<all-select){

           begin=all-select+1;

       }

       else{

           begin=select+1;

       }

      

       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);

       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);

      

       if (intTable==null){

           intTable=new int[all+1];

           for(int i=0;i<all+1;intTable[i++]=-1);

       }

       intTable[select]=ret;

      

       return ret;

    }

面试官的问题又来了：还能再优化吗？你可以与面试官讨论更多的细节以决定不同的优化方案，也可以如实告诉面试官你没有想到别的办法。我想，这时面试官期待的已经不是你能给他新的代码了，更多的是在考察你有没有独立解决难题这样代码之外的能力了。

对于前文的代码，最后通过对比发现，使用数组缓存的实现其运行效率最高，然后是改良算法2，接下来是阶乘的实现方案，但比combination2要慢上1-2倍，最后是使用HashMap的实现效率最低。

通过上述解析，可以看到，貌似简单的面试题，其实可以考察到很多内容，所以，求职时要认真准备，认真对待。

附完整的测试代码。

import java.security.InvalidParameterException;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;


/**
 * @author caowenbin
 * wenbin1027@hotmail.com
 *
 */
public class Example {
    private static Map<String,Integer> mapTable=new HashMap<String,Integer>();
    private static int[] intTable;

    private static int factorial(int n){
        if (n<0)
            throw new InvalidParameterException();

        int ret=1;
        if (n==0 || n==1)
            return ret;
        else
            for(int i=2;i<=n;ret*=i++);

        return ret;
    }

    public static int combination1(int all,int select){
        if (select>all || all<=0 || select<=0)
            throw new InvalidParameterException();

        if (select==all)
            return 1;

        return factorial(all)/factorial(select)/factorial(all-select);
    }

    public static int combination2(int all,int select){
        if (select>all || all<=0 || select<=0)
            throw new InvalidParameterException();

        int ret=1;
        int begin=0;
        if (all==select)
            return ret;

        //从1-begin之间的数被约分掉以简化计算
        if (select<all-select)
            begin=all-select+1;
        else
            begin=select+1;

        for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);    //计算分子
        for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--); //被分母除

        return ret;
    }

    public static int combination3(int all,int select){
        if (select>all || all<=0 || select<=0)
            throw new InvalidParameterException();

        int ret=1;
        int begin=0;
        if (all==select){
            return ret;
        }

        String tableKey=new String(all+","+select);
        Integer tableValue=mapTable.get(tableKey);
        if (tableValue!=null)
            return tableValue.intValue();

        if (select<all-select){
            begin=all-select+1;
        }
        else{
            begin=select+1;
        }

        for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);
        for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);

        mapTable.put(tableKey, Integer.valueOf(ret));

        return ret;
    }

    public static int combination4(int all,int select){
        if (select>all || all<=0 || select<=0)
            throw new InvalidParameterException();

        int ret=1;
        int begin=0;
        if (all==select){
            return ret;
        }

        if (intTable!=null && intTable[select]!=-1)
            return intTable[select];

        if (select<all-select){
            begin=all-select+1;
        }
        else{
            begin=select+1;
        }

        for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);
        for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);

        if (intTable==null){
            intTable=new int[all+1];
            for(int i=0;i<all+1;intTable[i++]=-1);
        }
        intTable[select]=ret;

        return ret;
    }
    /**
     * @param args
     */
    public static void main(String[] args) {
        final int repeat=500000;

        System.out.println("==========================");
        long time=System.currentTimeMillis();
        for(int i=0;i<repeat;i++){
            for(int j=1;j<=10;j++)
                Example.combination1(10,j);
        }
        System.out.println("TimeSpan1="+(System.currentTimeMillis()-time));
        System.out.println("==========================");

        time=System.currentTimeMillis();
        for(int i=0;i<repeat;i++){
            for(int j=1;j<=10;j++)
                Example.combination2(10,j);
        }
        System.out.println("TimeSpan2="+(System.currentTimeMillis()-time));
        System.out.println("==========================");

        time=System.currentTimeMillis();
        for(int i=0;i<repeat;i++){
            for(int j=1;j<=10;j++)
                Example.combination3(10,j);
        }
        System.out.println("TimeSpan3="+(System.currentTimeMillis()-time));
        System.out.println("==========================");

        time=System.currentTimeMillis();
        for(int i=0;i<repeat;i++){
            for(int j=1;j<=10;j++)
                Example.combination4(10,j);
        }
        System.out.println("TimeSpan4="+(System.currentTimeMillis()-time));
        System.out.println("==========================");
    }
}