最短路径——Floyd算法
可以用来求带权图和无权图
Floyd算法：求出每一对顶点之间的最短路径
使用动态规划思想，将问题的求解分为多个阶段
第一个矩阵就是图的邻接矩阵
第二个矩阵表示两个顶点之间的中转点
遍历上一个阶段留下来的矩阵A，对于上一个矩阵A当中的每一个具体的元素我们都进行：
若 A^(k-1)[i] [j]>A^(k-1)[i] [k]+A^(k-1)[k] [j]
则 A^(k)[i] [j] = A^(k-1)[i] [k] + A^(k-1)[k] [j];
path^(k)[i] [j] = k
否则A^(k) 和 path^(k)保持原值
[A^{(-1)}[2] [1]>A^{(-1)}[2] [0]+A^{(-1)}[0] [1]=11
]
[A^{(0)}[2] [1] = 11;
]
[path^{(0)}[2] [1] = 0;
]
[A^{(0)}[0] [2]>A^{(0)}[0] [1]+A^{(0)}[1] [2]=10
]
[A^{(1)}[0] [2] = 10;
]
[path^{(1)}[0] [2] = 1;
]
[A^{(1)}[1] [0]>A^{(1)}[1] [2]+A^{(1)}[2] [0]=9
]
[A^{(2)}[1] [0] = 9;
]
[path^{(2)}[1] [0] = 2;
]
Floyd算法核心代码
//。。。。准备工作，初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){ //考虑以vk作为中转点
for(int i=0;i<n;i++){ //遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
for(int j=0;j<n;j++){
if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){ //以vk作为中转点的路径更短
A[i][j] = A[i][k]+A[k][j]; //更新最短路径长度
path[i][j] = k; //中转点
}
}
}
}
Floyd算法实例
练习：floyd算法用于负权图
//。。。。准备工作，初始化矩阵A和path
for(int k=0;k<n;k++){ //考虑以vk作为中转点
for(int i=0;i<n;i++){ //遍历整个矩阵，i为行号，j为列号
for(int j=0;j<n;j++){
if(A[i][j]>A[i][k]+A[k][j]){ //以vk作为中转点的路径更短
A[i][j] = A[i][k]+A[k][j]; //更新最短路径长度
path[i][j] = k; //中转点
}
}
}
}
不能解决的问题
带有“负权值回路”的图
这种图可能没有最短路径
知识回顾
