正则化（Regularization）
机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ℓ1 ell_1ℓ
1
-norm 和 ℓ2 ell_2ℓ
2
-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。
L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α∣∣w∣∣1 alpha||w||_1α∣∣w∣∣
1
即为L1正则化项。
下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α∣∣w∣∣22 alpha||w||_2^2α∣∣w∣∣
2
2
即为L2正则化项。
一般回归分析中回归w ww表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：
L1正则化是指权值向量w ww中各个元素的绝对值之和，通常表示为∣∣w∣∣1 ||w||_1∣∣w∣∣
1
L2正则化是指权值向量w ww中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为∣∣w∣∣2 ||w||_2∣∣w∣∣
2
一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α alphaα表示，一些文章也用λ lambdaλ表示。这个系数需要用户指定。
那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。
L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合
稀疏模型与特征选择
上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？
稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。
L1和L2正则化的直观理解
这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。
##L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则化的损失函数：
J=J0+α∑w∣w∣(1) J = J_0 + alpha sum_w{|w|} ag{1}
J=J
0
+α
w
∑
∣w∣(1)
其中J0 J_0J
0
是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α alphaα是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J JJ是带有绝对值符号的函数，因此J JJ是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J0 J_0J
0
后添加L1正则化项时，相当于对J0 J_0J
0
做了一个约束。令L=α∑w∣w∣ L = alpha sum_w{|w|}L=α∑
w
∣w∣，则J=J0+L J = J_0 + LJ=J
0
+L，此时我们的任务变成在L LL约束下求出J0 J_0J
0
取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w1 w^1w
1
和w2 w^2w
2
，此时L=∣w1∣+∣w2∣ L = |w^1|+|w^2|L=∣w
1
∣+∣w
2
∣对于梯度下降法，求解J0 J_0J
0
的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L LL也可以在w1w2 w^1w^2w
1
w
2
的二维平面上画出来。如下图：
图1 L1正则化
图中等值线是J0 J_0J
0
的等值线，黑色方形是L LL函数的图形。在图中，当J0 J_0J
0
等值线与L LL图形首次相交的地方就是最优解。上图中J0 J_0J
0
与L LL在L LL的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w1,w2)=(0,w) (w^1, w^2) = (0, w)(w
1
,w
2
)=(0,w)。可以直观想象，因为L LL函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J0 J_0J
0
与这些角接触的机率会远大于与L LL其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。
而正则化前面的系数α alphaα，可以控制L LL图形的大小。α alphaα越小，L LL的图形越大（上图中的黑色方框）；α alphaα越大，L LL的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w1,w2)=(0,w) (w1,w2)=(0,w)(w1,w2)=(0,w)中的w ww可以取到很小的值。
类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：
J=J0+α∑ww2(2) J = J_0 + alpha sum_w{w^2} ag{2}
J=J
0
+α
w
∑
w
2
(2)
同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：
图2 L2正则化
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J0 J_0J
0
与L LL相交时使得w1 w^1w
1
或w2 w^2w
2
等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。
L2正则化和过拟合
拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。
那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？
以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ hetaθ，hθ(x) h_ heta(x)h
θ
(x)是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是(hθ(x)−y)2 (h_ heta(x) - y)^2(h
θ
(x)−y)
2
，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有m mm个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数12m frac{1}{2m}
2m
1
：
J(θ)=12m∑mi=1(hθ(x(i))−y(i))2(3) J( heta) = frac{1}{2m}sum_{i=1}^{m}(h_ heta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 ag{3}
J(θ)=
2m
1
i=1
∑
m
(h
θ
(x
(i)
)−y
(i)
)
2
(3)
在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。
对于单个样本，先对某个参数θj heta_jθ
j
求导：
∂∂θjJ(θ)=1m(hθ(x)−y)∂∂θjhθ(x)(3.1) frac{partial}{partial heta_j} J( heta) = frac{1}{m} (h_ heta(x) - y) frac{partial}{partial heta_j} h_ heta(x) ag{3.1}
∂θ
j
∂
J(θ)=
m
1
(h
θ
(x)−y)
∂θ
j
∂
h
θ
(x)(3.1)
注意到hθ(x) h_ heta(x)h
θ
(x)的表达式是hθ(x)=θ0x0+θ1x1+⋯+θnxn h_ heta(x)= heta_0 x_0 + heta_1 x_1 + dots + heta_n x_nh
θ
(x)=θ
0
x
0
+θ
1
x
1
+⋯+θ
n
x
n
. 单个样本对某个参数θj heta_jθ
j
求导，∂∂θjhθ(x)=xj frac{partial}{partial heta_j} h_ heta(x) = x_j
∂θ
j
∂
h
θ
(x)=x
j
. 最终(3.1)式结果如下：
∂∂θjJ(θ)=1m(hθ(x)−y)xj(3.2) frac{partial}{partial heta_j} J( heta) = frac{1}{m} (h_ heta(x) - y) x_j ag{3.2}
∂θ
j
∂
J(θ)=
m
1
(h
θ
(x)−y)x
j
(3.2)
在考虑所有样本的情况，将每个样本对θj heta_jθ
j
的导数求和即可，得到下式：
∂∂θjJ(θ)=1m∑mi=1(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(3.3) frac{partial}{partial heta_j} J( heta) = frac{1}{m} sum_{i=1}^m (h_ heta(x^{(i)}) - y^{(i)}) x_j^{(i)} ag{3.3}
∂θ
j
∂
J(θ)=
m
1
i=1
∑
m
(h
θ
(x
(i)
)−y
(i)
)x
j
(i)
(3.3)
梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数α alphaα（即学习率），得到最终用于迭代计算参数θj heta_jθ
j
的形式：
θj:=θj−α1m∑mi=1(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(4) heta_j := heta_j - alpha frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}(h_ heta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} ag{4}
θ
j
:=θ
j
−α
m
1
i=1
∑
m
(h
θ
(x
(i)
)−y
(i)
)x
j
(i)
(4)
其中α alphaα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：
θj:=θj(1−αλm)−α1m∑mi=1(hθ(x(i))−y(i))x(i)j(5) heta_j := heta_j(1-alpha frac{lambda}{m}) - alpha frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}(h_ heta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} ag{5}
θ
j
:=θ
j
(1−α
m
λ
)−α
m
1
i=1
∑
m
(h
θ
(x
(i)
)−y
(i)
)x
j
(i)
(5)
其中λ lambdaλ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θj heta_jθ
j
都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θj heta_jθ
j
不断减小，因此总得来看，θ hetaθ是不断减小的。
最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。
正则化参数的选择
L1正则化参数
通常越大的λ lambdaλ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。
假设有如下带L1正则化项的代价函数：
F(x)=f(x)+λ∣∣x∣∣1 F(x) = f(x) + lambda ||x||_1
F(x)=f(x)+λ∣∣x∣∣
1
其中x xx是要估计的参数，相当于上文中提到的w ww以及θ hetaθ. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当λ lambdaλ足够大时可以使得F(x) F(x)F(x)在x=0 x = 0x=0时取到最小值。如下图：
图3 L1正则化参数的选择
分别取λ=0.5 lambda = 0.5λ=0.5和λ=2 lambda = 2λ=2，可以看到越大的λ lambdaλ越容易使F(x) F(x)F(x)在x=0 x=0x=0时取到最小值。
L2正则化参数
从公式5可以看到，λ lambdaλ越大，θj heta_jθ
j
衰减得越快。另一个理解可以参考图2，λ lambdaλ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。
Reference
过拟合的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html
正则化的解释：
https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html
正则化的解释：
http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657
正则化的数学解释（一些图来源于这里）：
http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995
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作者：阿拉丁吃米粉
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/52433975
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