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  • 为什么要引入矩阵这个数学工具?它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题?

    为什么要引入矩阵这个数学工具?它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题?

    刚看到这个问题时,我在想:投影、最小二乘法、回归、SVD、PCA、图像处理、优化、机器学习、密码学……这些全都要用矩阵啊。

    但是我转念一想,好像矩阵确实不是必需的:


    这样下去,其实任何需要矩阵的地方,都可以不使用矩阵列出公式。

    有些常用的计算,比如“最小二乘法”的公式,是这样的:

    算得不一定对。但是基本意思大家都能明白:这个式子太复杂了!!

    而且,实际应用中,你还不能直接用这个式子,因为它的计算量太大了!为了让计算机更快地算出答案,你还要“化简”上面这个式子,找到能让计算机快速算出答案的算法。

    来吧!化简这个式子!

    线性代数其实也可以被推广到更广泛的形式,不过实际应用中比较少见。比如 @Bazinga 就提到了线性空间和线性算子。感兴趣的朋友还可以自行搜索一下度量空间、赋范空间、内积空间、埃尔米特伴随算子。然后我们回来看刚才的“最小二乘法”。我们知道,所谓最小二乘法,就是找到一条线,使得误差的平方之和最小。

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