[转载]动态规划解决字符串编辑距离问题

[转载]动态规划解决字符串编辑距离问题

本文大部分内容转载自：https://www.dreamxu.com/books/dsa/dp/edit-distance.html

问题描述

给定 2 个字符串 a, b. 编辑距离是将 a 转换为 b 的最少操作次数，操作只允许如下 3 种：

1. 插入一个字符，例如：fj -> fxj
2. 删除一个字符，例如：fxj -> fj
3. 替换一个字符，例如：jxj -> fyj

解决思路

假设字符串 a, 共 m 位，从 a[1] 到 a[m]
字符串 b, 共 n 位，从 b[1] 到 b[n]
d[i][j] 表示字符串 a[1]-a[i] 转换为 b[1]-b[j] 的编辑距离

那么有如下递归规律（a[i] 和 b[j] 分别是字符串 a 和 b 的最后一位）：

1. 当 a[i] 等于 b[j] 时，d[i][j] = d[i-1][j-1], 比如 fxy -> fay 的编辑距离等于 fx -> fa 的编辑距离

2. 当

a[i]不等于b[j]时，d[i][j]等于如下 3 项的最小值：

• d[i-1][j] + 1（删除 a[i]）， 比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fx -> fab 的编辑距离 + 1
• d[i][j-1] + 1（插入 b[j])， 比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxyb -> fab 的编辑距离 + 1 = fxy -> fa 的编辑距离 + 1
• d[i-1][j-1] + 1（将 a[i] 替换为 b[j]）， 比如 fxy -> fab 的编辑距离 = fxb -> fab 的编辑距离 + 1 = fx -> fa 的编辑距离 + 1

递归边界：

1. a[i][0] = i, b 字符串为空，表示将 a[1]-a[i] 全部删除，所以编辑距离为 i
2. a[0][j] = j, a 字符串为空，表示 a 插入 b[1]-b[j]，所以编辑距离为 j

剩下的就没啥了，做表就完事了，关键是上面提到的那个思路。

注意，虽然上面写的例子都是字符串a转换成字符串b的距离，但是这个其实是符合交换律的，例如：

a转换为b需要依次经过 在末尾添加字符x->修改第k位由q变成w->删除第z位的字符Az

那么B变成a就是： 在第z位加上Az->修改第k位由w变成q->删除末尾的x

由此可见，编辑距离是符合交换律的。

时间复杂度和空间复杂度分析

就是顺带一提，因为使用动态规划要制表，所以必然是O(mn)，m和n分别是两个字符串的长度，空间复杂度也是这个