字符串的最小表示法

“最小表示法”思想的提出

首先来看一个引例：

[引例]有两列数，a₁,a₂,a₃ .....a_n 和b₁,b₂,b₃..... b_n ，不记顺序，判断它们是否相同。

[分析]由于题目要求“不记顺序”，因此每一列数的不同形式高达n！种之多！如果要一一枚举，显然是不科学的。

于是一种新的思想提出了：如果两列数是相同的，那么将它们排序之后得到的数列一定也是相同的。算法复杂度迅速降低为O(Nlog₂N)。

这道题虽然简单，却给了我们一个重要的启示：

当某两个对象有多种表达形式，且需要判断它们在某种变化规则下是否能够达到一个相同的形式时，可以将它们都按一定规则变化成其所有表达形式中的最小者，然后只需要比较两个“最小者”是否相等即可！

最小表示法是求与某个字符串循环同构的所有字符串中，字典序最小的串是哪个

循环同构
字符串S = “bacda”，它的循环同构"acdab"，“cdaba”，“dabac”，“abacd”.

最小表示
字符串和它的所有循环同构中字典序最小的字符串。S = “bacda"的最小表示"abacd”

这几个串在原串上的开始位置分别是0,1,2,3,4。

默认从0开始比较方便，这一点之后也会再提到。

暴力方法很简单，把所有的都列出来再排个序就行了。

暴力的时间复杂度是很高的，然而我们可以做到O(n)求出字典序最小的串的开始位置。

大致思路如下：

设i、j是两个“怀疑是最小的位置”，比如说如果你比较到了bacda的两个a，你目前还不知道从哪个i开始的字符串是最小的。

设k表示，从i往后数和从j往后数，有多少是相同的。

开始时先设i=0，j=1，k=0。

每次都对i+k、j+k进行一次比较。

发现i+k有可能大于字符串长度n啊，怎么办呢？

首先想到将字符串倍长：bacdabacda。

但是这样做很麻烦，而且倍长之后，前后两段都是完全一样的。

所以我们只需要取模n就好了：(i+k)%n。

这么做就要求字符串从0开始，如果从1开始的话，就有点麻烦了，还得+1-1什么的，不如从0开始简单明了。

比较完i+k和j+k，如果两个字符相等，那么显然k++。

如果不相等，那么哪边比较大，哪边就肯定不是最小的了，同时把k重置为0。

如果出现了i、j重合的情况，把j往后移动一位。

最后输出i、j较小的那个就好了。

什么，想看具体点的，那接着往下看吧

定义三个指针，i,j,k

初始i=0;  j=1;  k=0；

首先，如果s[i]<s[j]那么很明显j++

如果s[i]>s[j]那么也很明显i=j++

剩下的就是如果s[i]==s[j]的时候。

这时候有一个性质就是在i和j之间的所有的字符一定是大于等于s[i]的

令k=0，循环寻找第一个s[i+k]!=s[j+k]的位置

如果s[i+k]<s[j+k]那么j+=k+1

为什么呢？

首先s[i]到s[i+k-1]一定是大于等于s[i]，因为如果其中有一个数小于s[i]，那么这个数一定在s[j]到s[j+k-1]中存在，又因为必定有一个会在后面，所以如果s[j]先碰到了，那么一定不会继续到k的位置的，所以一定不存在比s[i]小的字符。

所以从其中的任意一个字符开始当作起始点，都不会比现在更小，所以只有从选出来的序列的后面那一个字符开始才有可能会是最小。

所以j+=k+1

如果序列中某个数和s[i]相等的话，那么一定会有之前或者以后再这个位置起始过，所以不需要再从这个位置进行起始。

因为在这里i和j是等价的，i在前和j在前的结果是一样的，所以i和j的处理是相同的，下面就不仔细的进行讲解了。

还有就是如果i==j那么让j++就可以回到原先的状态了

最后的时候，肯定是小的不会动，而大的会不停的向后移动，所以最后只需要输出i和j最小的一个即可

再从头过一遍思路：

假设有两个下标i，j，表示如果从i和从j出发的字符串，有一个k表示字符串的长度，如果长度达到len，就表示找到最小的串。

s[i+k] == s[j+k]:  k++

s[i+k]>s[j+k]: i=i+k+1 表示以i，到i+k为起点的字符串，都不是最小字符串的前缀。

s[i+k]<s[j+k]: j=j+k+1 同理

注意：

• i和j一定是不同的。
• 每次不等时，需要设置k为0。
• 循环条件是小于不是小于等于

int getmin(char *str)
{
    int len=strlen(str);
    int i=0,j=1,k=0;
    while(i<len&&j<len&&k<len)
    {
        int t=str[(i+k)%len]-str[(j+k)%len];
        if(!t) k++;
        else
        {
            if(t>0) i=i+k+1;
            else j=j+k+1;
            if(i==j) j++;
            k=0;
        }
    }
    return min(i,j);
} 

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如果遇到了bcdefgabcdefg这样的字符串，上述的写法就有点不太好用了

下面介绍一种改进的算法：（注意理解加粗字体）

初始i = 0, j = 1, k = 0. i 指向第一个字符，j 指向第二个字符，k 表示增量。
每次比较 t = s[(i+k) % len] - s[(j+k) % len]
t == 0 表示从i，j开始长度为(k + 1)的字符串相同， 所以更新k++。
t < 0 表示从i 开始长度为(k + 1)的字符串的字典序小于从 j 开始， 所以更新j = max(j+k+1, i+1)。
t > 0 表示从i 开始长度为(k + 1)的字符串的字典序大于从 j 开始， 所以更新i = max(i+k+1, j+1)。
当k更新到len次或者i，j超出长度。就能确定一个位置min(i, j)
为什么更新i，j 用max？例如移动 i 时，正常更新是向后移动k位，但是如果移动之后还是小于j，完全可以移动到j +１的位置。因为i， j 之间的字符肯定大于j。

int MinRepresent(char *s)
{
    int i = 0, j = 1, k = 0;
    int len = strlen(s);
    while (i < len && j < len && k < len) {
        int t = s[(i+k) % len] - s[(j+k) % len];
        if (t == 0) k++;
        else{
            if (t < 0)  j = max(j+k+1, i+1);
            else i = max(i+k+1, j+1);
            k = 0;
        }
    }
    return min(i, j);
}

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一些应用

求字符串的最小表示法

求最小周期长度

求最大表示法

总结(摘自周源《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》):

最小表示法是一个与匹配算法本质不同的线性算法。“最小表示法”思想引导我们从问题的另一方面分析，进而构造出一个全新的算法。

比起匹配算法，它容易理解，便于记忆，实现起来，也不过是短短的几重循环，非常方便，便于应用于扩展问题

“最小表示法”是判断两种事物本质是否相同的一种常见思想，它的通用性也是被人们认可的——无论是搜索中判重技术，还是判断图的同构之类复杂的问题，它都有着无可替代的作用。仔细分析可以得出，其思想精华在于引入了“序”这个概念，从而将纷繁的待处理对象化为单一的形式，便于比较。

然而值得注意的是，在如今的信息学竞赛中，试题纷繁复杂，使用的算法也不再拘泥于几个经典的算法，改造经典算法或是将多种算法组合是常用的方法之一。单纯的寻求字符串的最小表示显得得不偿失，但利用“最小表示法”的思想，和字符串的最小表示这个客观存在的事物，我们却找到了一个简单、优秀的算法。

因此，在解决实际问题时，只有深入分析，敢于创新，才能将问题化纷繁为简洁，化无序为有序。

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我在学习该算法时阅读了许多博客，上文是我借鉴它们总结的一篇文章，以便自己以后查阅用的

下面是原文地址：

https://www.cnblogs.com/eternhope/p/9972846.html

https://www.cnblogs.com/XGHeaven/p/4009210.html

https://blog.csdn.net/henuyh/article/details/85868528