最大子矩阵和（二维矩阵转一维DP）

题目描述

蒜头君拿到了一个矩阵，他想知道其中的最大非空子矩阵和是多少。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m代表这个矩阵的行数和列数。接下来n行，每行m个整数 a_i1,a_i2,a_i3⋯a_im。(1≤m,n≤400,−10⁹≤a_ij≤10⁹)

输出格式

输出一个整数，代表最大非空子矩阵和，占一行。

样例输入

3 3
1 -2 3
-4 5 -6
7 -8 9

样例输出

9 

与最大子段和类似，不过上升到了二维，那么我们可以通过枚举上下边界将题目转化为一维的，通过前缀和又可以快速算出固定一列从一行到某一行所有数的和。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <math.h>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <sstream>
const int INF=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
const double PI = acos(-1);
const double eps =1e-8;
#define Bug cout<<"---------------------"<<endl
const int maxn=1e5+10;
using namespace std;

LL sum[405][405];//sum[j][i]表示第j列前i行的前缀和 
LL MAX=-INF;//别忘了初始化 

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            LL x; 
            scanf("%lld",&x);
            MAX=max(MAX,x);
            sum[j][i]=sum[j][i-1]+x;
        }
    }
    if(MAX>=0)//如果MAX小于零则直接输出即可 
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)//i为矩阵上边界 
        {
            for(int k=i;k<=n;k++)//k为矩阵下边界 
            {
                long long t=0;//和 
                for(int j=1;j<=m;j++)//一维最大子段和(利用列的前缀和快速计算) 
                {
                    if(t+sum[j][k]-sum[j][i-1]<0) t=0;
                    else t+=sum[j][k]-sum[j][i-1];
                    MAX=max(MAX,t);
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld
",MAX);
    return 0;
}

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