OpenCV相机标定

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相机标定是图像处理的基础，虽然相机使用的是小孔成像模型，但是由于小孔的透光非常有限，所以需要使用透镜聚焦足够多的光线。在使用的过程中，需要知道相机的焦距、成像中心以及倾斜因子（matlab的模型有考虑，实际中这个因子很小，也可以不考虑）。为了增加光照使用了透镜，而使用透镜的代价是会产生畸变，现在市面上买到的相机，都存在着或多或少的畸变。畸变的种类比较多，这里介绍常见的两种：径向畸变、切向畸变。相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。

畸变种类

（1）径向畸变（参考自《学习opencv》412页）
摄像头的透镜在传感器的边缘产生显著的畸变，如下图所示。对于径向畸变，光学中心的畸变为-，随着向边缘移动，畸变会越来越严重。由于畸变比较小，所以可以用泰勒级数的低阶项来近似。

（2）切向畸变。
另外一种需要考虑的相机畸变是切向畸变，切向畸变的主要原因是透镜本身和图像平面不平行，如下左图所示。切向畸变导致的结果是在成像平面上所成的像为下右图所示。

相机的标定

相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。这里只介绍张正友标定方法。

• 张正友标定法的标定步骤
  1、打印一张模板并贴在一个平面上；
  2、从不同角度拍摄若干张模板图像；
  3、检测出图像中的特征点；
  4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计） ；
  5、求出畸变系数；
  6、优化求精。

• 理论基础
  现在来介绍张正友标定方法中的理论知识，以飨读者。张正友标定方法的主要思想是、
  1、相机内参矩阵

[q=MQ ]

其中，$$
q=left[
egin{array}{c}
u
v
w
end{array}
ight] ,quad
M=
left[
egin{array}{ccc}
f_x & s & c_x
0 & f_y & c_y
0 & 0 & 1
end{array}
ight],quad
Q=left[
egin{array}{c}
X
Y
Z
end{array}
ight]

[ $q$的坐标系是默认的OpenCV的像素坐标系，$Q$的坐标系是标定板坐标系，Z轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[*,*,0]的形式），在Open CV 3.0中使用的是（$[i*Squres\_Size，j*Square\_Size，0]$的形式）。其中$f_x$和$f_y$表示相机$x$轴和$y$轴的焦距，$s$表示成像平面$x$轴和$y$轴的不正交性（OpenCV模型中把该项置为0，Matlab考虑了该项）。 2、基础公式 对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示： $$s ilde{m}=A[R|t] ilde{M}]

其中，([R|t])表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。把矩阵(R)和( ilde{M})写开，如下式所示：

[ ilde{m}= left[ egin{array}{c} u \ v \ 1 end{array} ight]，quad ilde{M}= left[ egin{array}{c} X \ Y \ 0 \ 1 end{array} ight]，quad R=[r_1quad r_2quad r_3]，quad ilde{M}= left[ egin{array}{c} X \ Y \ 0 \ 1 end{array} ight] ]

进行化简得到：

[s left[ egin{array}{c} u \ v \ 1 end{array} ight]=A[r_1quad r_2quad t] left[ egin{array}{c} X \ Y \ 1 end{array} ight] ]

其中([uquad vquad 1])是已知量，([Xquad Yquad 1])也是已知量，(A)和([r_1quad r_2 quad t])是未知量。
其中(H=A[r_1quad r_2quad t])又叫做单应性矩阵，可以使用下面的(3)中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解：
这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的(m)存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
则优化目标为

[sum_{i}(m_i-hat{m}_i)^TLambda_{m_i}^{-1}(m_i - hat{m}_i) ]

其中$$m_i= frac{1}{overline{h}_3^TM_i}
left[
egin{array}{c}
overline{h}_1^TM_i
overline{h}_2^TM_i
end{array}
ight]$$，其中(overline{h}_i)是矩阵(H)的第(i)列，并且假设(Lambda_{m_i}=sigma^2 I)（(m_i)、(M_i)已知）
求解上面的非线性优化问题可以使用LM算法。
（1）初始值求解
令(x=[overline{h}_1，overline{h}_2，overline{h}_3])，则(s ilde{m}=H ilde{M})可以重写为

[left[ egin{array}{ccc} ilde{M}^T & 0^T & -u ilde{M}^T \ 0^T & ilde{M}^T & -v ilde{M}^T end{array} ight]x=0 ]

对于(n)个点，对应(n)个方程，(Lx=0)，其中(x)是(1 imes 9)的，(L)是(2n imes 9)的。(x)的解对应于(L)的最小奇异值的右奇异向量。
Q：为什么用svd求了，还需要用最大似然方法来优化？svd求的(H)是有误差的，需要用优化来精确求解。
4、求解相机内参
（1）利用约束条件求解内参矩阵A
在公式中，由于(r_1)和(r_2)是单位向量且是正交的，所以存在下面的关系：

[h_1^TA^{-T}A^{-1}h_2=0\ h_1^TA^{-T}A^{-1}h_1=h_2^TA^{-T}A^{-1}h_2]

上面的公式写成方程组的形式如下所示：

[left[ egin{array}{c} v_{12}^T \ (v_{11}-v_{22})^T end{array} ight] b=0 ]

上面的等式是一个最小二乘问题，可以使用SVD求解.由于A有5个参数：(alpha，eta，u_0，v_0，gamma)，一个单应性矩阵对应两个约束，所以求解A需要3个单应性矩阵，也就是最小需要3幅图像（超定方程）。当然，
也可以使用两个单应性矩阵，此时需要令(gamma=0)。算出了b之后，可以用下面的公式求(A)。

[v_0=(B_{12}B_{13}-B_{11}B_{23})/(B_{11}B_{22}-B_{12}^2)\ lambda=B_{33}-[B_{13}^2+v_0(B_{12}B_{13}-B_{11}B_{23})]/B_{11} \ alpha = sqrt{lambda/B_{11}}\ eta=sqrt{lambda B_{11}/(B_{11}B_{12}-B_{12}^2)} \ gamma= -B_{12}alpha^2 eta / lambda \ u_0 =gamma v_0 / eta - B_{13}alpha^2 / lambda ]

5、求解相机外参
在上面求解了相机的内参之后，可以求出棋盘格的位姿，公式如下：

[r_1 = lambda A^{-1}h_1 \ r_2 = lambda A^{-1}h_2 \ r_3 = r_1 imes h_2 t = lambda A^{-1} h_3 ]

在OpenCV中，上面的公式是用来求解优化参数的初始值的，最终的结果是使用优化的方法得到的。
由于存在误差，还是需要迭代求解以提高精度（问题描述如下）：
给定棋盘格的(n)个图像和(m)个角点，并假设图像点被独立同分布的噪声影响。
似然函数如下所示：

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}=Vert m_{ij}-m(A,R_i, t_i, M_j)Vert^2 ]

其中旋转矩阵(R)用向量(r)表示（罗巨格公式）
6、相机的畸变参数求解
上面的讨论中一直没有引入相机畸变的问题，这里引入相机的畸变。
记((u,v))为理想的像素坐标，((reve{u},reve{v}))为实际观测得到的像素坐标（受到畸变）。同样的，有归一化的相机坐标系((x，y))和((reve{x},reve{y}))
对于径向畸变（这是张正友上的模型，泰勒展开）：

[reve{x}=x+x[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2]\ reve{y}=y+y[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2] ]

用像素坐标表示则为：

[reve{u}=u+(u-u_0)[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2]\ reve{v}=v+(v-v_0)[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2] ]

写成如下形式：

[left[ egin{array}{cc} (u-u_0)(x^2+y^2) & (u-u_0)(x^2+y^2)^2\ (v-v_0)(x^2+y^2) & (v-v_0)(x^2+y^2) end{array} ight] left[ egin{array}{c} k_1 \ k_2 end{array} ight]= left[ egin{array}{c} reve{u}-u \ reve{v}-v end{array} ight] ]

给定(n)个图像中的(m)个点，可以得到(2mn)个方程，记为(Dk=d)。
则(k=(D^TD)^{-1}D^Td)。
最小二乘方法求解：

[sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}Vert m_{ij}-reve{m} (A,k_1,k_2,R_i,t_i,M_j)Vert^2 ]

如果求解了畸变参数(k_1)和(k_2)，则可以求解出没有畸变的坐标，从而使用上面的方法求解位姿和内参。
畸变参数(k_1)和(k_2)初始化可以简单的设为0，也可以使用后续的估计方法。
OpenCV的模型（《学习OpenCV》，这是Brown和Fryer的工作）还包括了切向畸变，并且镜像畸变有三项。因此，opencv中一共有五个参数([k_1,k_2,p1,p2,k_3])。

OpenCV的标定步骤

1、初始化参数求解；
a、求解单应性矩阵；
b、根据理论的第4步求解相机内参的初始值；
c、根据理论的第5步求解相机外参的初始值；
d、畸变参数设置为0。
2、迭代求解总体最小二乘问题，也就是上面6所示的最小二乘问题。

后面会接着介绍最小二乘中的数学相关知识。