hdu4279Number<数论>

链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4279

题意

:给定一个数N, 在[1,N)中的数M, gcd( M, N ) != 1, 且N%M !=  0; 那么M就为N的一个special number, f( x ) 为统计 x 的special number的个数, 如果f( x )为奇数,那么x就为一个 real numbers. 求给定区间的real number数.

思路:

先看f(x),由题意得f(x)=x-phi( x ) - g(x)+1;(  phi(x)为欧拉函数, g(x)为因子个数, +1 是因为1在phi(x)和g(x)中都算了 );

而real number只与f(x)的机偶性有关所以我们只讨论phi(x)和g(x)的奇偶性;

我们知道当x>2时phi(x)为偶数;

g(x)约数个数，我们由基本定理可得，x=p1^e1*p2^e2*…pn^en，而由计数方法易知 x的约数个数为 g(x)=(e1+1）*(e2+1)*…(en+1)的;

所以若要使 g(x) 为奇数，充要条件是（ei+1）都为奇数，即质数的幂都为偶数。所以此时 x必然是一个平方数;

综上，x为平方数，其约数个数为奇数；x为非平方数，其约数个数为偶数;

所以，当x>2时， 若x为平方数，f(x)=x-奇-偶+1，要使f(x)为奇数，则x必为奇数；若x为非平方数，f(x)=x-偶-偶+1，

要使f(x)为奇数，则x必为偶数。 当x=1或2时，f(x)=0.

综上，real numbers F(x) 的值为[3,x]中，奇数平方数+偶数非平方数的个数和，即 偶数个数-偶数^2的个数+奇数^2的个数。

而偶数个数为 x/2-1，-1是为了把2减掉。偶数^2个数为 sqrt(x)/2，奇数^2个数为 ( sqrt(x)-(sqrt(x)/2) )-1，

这里-1是为了把1减掉。所以，化简后，F(x) = x/2-1+(sqrt(x)%2? 0: -1).

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>

__int64 get(__int64 x)
{
    if(x<=2) return 0;
    return x/2-1+( (__int64)sqrt(1.0*x) %2? 0: -1);        
}

int main()
{
    int T;
    scanf( "%d", &T );
    while(T--)
    {
        __int64 a, b;
        scanf("%I64d%I64d", &a, &b);
        printf("%I64d\n", get(b)-get(a-1));
    }
}