算法基础

 什么是算法?

　　算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

　　算法中的指令描述的是一个计算，当其运行时能从一个初始状态和（可能为空的）初始输入开始，经过一系列有限而清晰定义的状态，最终产生输出并停止于一个终态。一个状态到另一个状态的转移不一定是确定的。随机化算法在内的一些算法，包含了一些随机输入。简单来说，算法就是一个计算过程，解决问题的方法。

算法的特征

　　一个算法应该具有五个重要的特征：

• 有穷性(Finiteness)：算法的有穷性是指算法必须在执行有限的步骤之后终止。
• 确切性(Definiteness)：算法的每一个步骤必须有确切的定义。
• 输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，0个输入是指算法本身定出了初始条件。
• 输出项目(Output)：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果，没有输出的算法是毫无意义的。
• 可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行的操作，每个计算步都可以在有限时间内完成(也称之为有效性)。

算法的评定

　　同一问题可以用不同的算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。其一个算法的评价只要从(时间复杂度)和(空间复杂度)来考虑。

• 时间复杂度：算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。可以用O(n)来当单位衡量。
  
• 空间复杂度：算法的空间复杂度是指算法需要消耗的内存空间。一般用空间换时间。
• 正确性：算法的正确性是评价一个算法优劣的最重要标准、
• 可读性：算法的可读性是指一个算法可供人们阅读的容易程度。
• 健壮性：健壮性是指一个算法对不合理数据输入的反应能力和处理能力，也称为容错性。

Python中的算法排序

一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。
常见的时间复杂度(按效率排序)
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n**2)<O(n**2logn)<O(n**3)
不常见的空间复杂度
O(n!)n的阶乘   O(2**n)2的n次方    O(n**n)n的n次方
小技巧：
    如果是循环减半的过程 -> O(logn)
    几次循环就是n的几次方的复杂度

print("Hello World!")                # 时间复杂度为O(1)

 
for i in range(n):                     # 时间复杂度为O(n)
    print("Hello World!")     


for i in range(n):                     # 时间复杂度为O(n**2)n的二次方
    for j in range(n):
        print("Hello World!")


for i in range(n):                     # 时间复杂度为O(n**3)n的三次方
    for j in range(n):
        for k in range(n):
            print("Hello World!")


while n > 1:                            # 时间复杂度为O(logn)求n的幂的逆运算
    print(n)
    n = n // 2

几种常见的算法

• 冒泡排序：相邻的两个数，如果前边比后边的大，那么久交换这两个数。　　

# 冒泡排序法的时间复杂度O(n**2)
li = [1,9,2,8,3,6,4,5,7]                        # 一个列表需要排序   

# 方式一：
def bubble_sort(li):                                         
    for i in range(0, len(li)-1):               # 循环一下其索引(0,8)因为顾头不顾尾索引-1
        for j in range(0, len(li) - i - 1):     # 再次循环相邻换完最小值要去掉他最小值
            if li[j] > li[j+1]:                      # 如果循环完的数大于相邻的数
                li[j], li[j+1] = li[j+1], li[j]    # 那么就交换这两个数


print(bubble_sort(li))                            # 最后结果[1,2,3,4,5,6,7,8,9]


# 方式二(优化方式一，代表冒泡排序法执行一趟之后没有交换，则代表列表是有序状态，可以直接结束算法。)：

def bubble_sort_2(li):
    for i in range(0, len(li)-1):
        for j in range(0, len(li) - i - 1):
            exchange = False
            if li[j] > li[j+1]:
                li[j], li[j+1] = li[j+1], li[j]
                exchange = True
            if not exchange:
                return

print(bubble_sort_2(li))                         #  如果有序的话，执行速度会加快

• 选择排序法：一趟遍历记录最小的数，放到第一个位置，接着在一趟遍历记录中剩余列表最小的数，继续放置，直至结束。

# 选择排序法的时间复杂度O(n**2)

def select_sort(li):
    for i in range(len(li) - 1):
        # 第i趟：有序区li[0:i] 无序区li[i:n]
        min_loc = i
        for j in range(i + 1, len(li)):
            if li[min_loc] > li[j]:
                min_loc = j
        li[min_loc], li[i] = li[i], li[min_loc]

• 插入排序法：列表分为有序区和无序区两个部分，初始有序区只有一个元素。每次从无序区取出一个元素，插入到有序区的位置，直到无序区为空。

def insert_sort(li):
    for i in range(1, len(li)):
        # i既表示趟数，也表示数的下标
        j = i - 1
        tmp = li[i]
        while j >= 0 and li[j] > tmp:
            li[j + 1] = li[j]
            j -= 1
        li[j + 1] = tmp

• 快速排序法：取一个元素，才用填坑法，让一个列表被这个元素分成两部分，左边都比这个元素小，反之右边比这个元素大，在用递归完成排序。

li = [5, 7, 4, 6, 3, 1, 2, 9, 8]


def quick_sort(li, low, high):             # 参数是(取第一个参数， 0, 列表中的元素个数)
    i = low
    j = high
    if i >= j:
        return li
    key = li[i]
    while i < j:
        while i < j and li[j] >= key:      # 如果要是进行降序排序吧li[j] >= key 变成 <=
            j = j - 1
        li[i] = li[j]
        while i < j and li[i] <= key:      # 如果要是进行降序排序吧li[i] <= key 变成 >=
            i = i + 1
        li[j] = li[i]
    li[i] = key
    quick_sort(li, low, i - 1)
    quick_sort(li, j + 1, high)
    return li


print(quick_sort(li, 0, 8))

• 堆排序法：直到堆的概念需要先知道数与二叉树

　　　　树是一种数据结构，并且是可以递归定义的数据结构。

　　　　树是由n个节点组成的集合：如果n = 0，那么这就是一颗空树，如果n > 0，那存在1个节点作为树的根节点，其他节点可以分为m个集合，每个集合又是一个树。

　　　　上面是树的概念，下面是特殊且常用的树 —— 二叉树(度不超过2的树(节点最多有两个叉)）

　　　　　　两种特殊二叉树：

　　　　　　　　满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

　　　　　　　　完全二叉树：叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。

　　　堆排序：

　　　　　　大跟堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点大。

　　　　　　小跟堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点小。

　　　　堆排序的过程：如果节点的左右子树都是堆，但自身不是堆，那么就可以通过向下调整来创造堆。

　　　　　　建立堆，并且保证堆顶元素是最大元素。去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，此时可通过一次调整重新使堆有序，直至堆边空。

　　　　在Python中有个内置模块——heapq，其中可以用这个模块来实现堆排序

from cal_time import cal_time
import heapq

def sift(li, low, high):
    tmp = li[low]        # 最大元素
    i = low
    j = 2 * i + 1
    while j <= high:    # 第二种跳出条件： j > high
        if j < high and li[j+1] > li[j]: # 如果右孩子存在并且大于左孩子
            j += 1
        if tmp < li[j]:
            li[i] = li[j]
            i = j
            j = 2 * i + 1
        else:   # 第一种跳出条件：li[j] <= tmp
            break
    li[i] = tmp


@cal_time
def heap_sort(li):
    n = len(li)
    # 1. 建堆
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1): # 最后一个非叶子节点的位置是n//2-1
        sift(li, i, n-1)
    # 2. 挨个出数
    for i in range(n-1, -1, -1): # i 表示此时堆的high位置
        li[0], li[i] = li[i], li[0] # 已经排序好的元素
        sift(li, 0, i-1)

import random


li = list(range(100000))
random.shuffle(li)
heap_sort(li)
print(li)

• 归并排序法：将列表越分越小，直到分成一个元素，接下来合并，合并之后是有序列表，越来越大。

def merge(li, low, mid, high):               # 一次归并方法
    i = low
    j = mid + 1
    li_tmp = []
    while i <= mid and j <= high:
        if li[i] < li[j]:
            li_tmp.append(li[i])
            i += 1
        else:
            li_tmp.append(li[j])
            j += 1
    while i <= mid:
        li_tmp.append(li[i])
        i += 1
    while j <= high:
        li_tmp.append(li[j])
        j += 1
    for i in range(low, high+1):
        li[i] = li_tmp[i-low]


def merge_sort(li, low, high):               # 归并排序
    if low < high:                           # 至少两个元素
        mid = (low + high) // 2
        print(li[low:mid + 1], li[mid + 1:high + 1])
        merge_sort(li, low, mid)
        merge_sort(li, mid+1, high)
        print(li[low:mid+1], li[mid+1:high+1])
        merge(li, low, mid, high)
        print(li[low:high + 1])

li = [10,4,6,3,8,2,5,7]
merge_sort(li, 0, len(li)-1)

排序方法				空间复杂度	稳定性
	最坏情况	平均情况	最好情况
冒泡排序	O(n2)	O(n2)	O(n)	O(1)	稳定
直接选择排序	O(n2)	O(n2)	O(n2)	O(1)	不稳定
直接插入排序	O(n2)	O(n2)	O(n)	O(1)	稳定
快速排序	O(n2)	O(nlogn)	O(nlogn)	平均情况O(logn); 最坏情况O(n)	不稳定
堆排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(1)	不稳定
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n)	稳定