同余模方程学习小记

什么是同余模呢？比如21%6=3,21%8=5,21%11=10，就是给出(6,3)(8,5)(11,10)这样的数对来求一个最小的正整数X，满足:

X%6=3;

X%8=5;

X%11=10。

怎么解决这个问题呢？首先我们将这样的数对表示为(m,r)，设有两个(m1,r1),(m2,r2)，设答案为X，那么显然有X=m1*k1+r1,X=m2*k2+r2 ，因此得到:m1*k1+r1=m2*k2+r2，即：m1*k1-m2*k2=r2-r1。设x=k1,y=-k2,c=r2-r1，上式即为:m1*x+m2*y=c。我们可以用扩展欧几里得求出x和y以及m1和m2的最大公约数d，如果c不能整除d则显然这样的x和y是不存在的。下面的讨论我们假设c能够整除d.我们知道我们求出x和y满足：m1*x+m2*y=d。那么我们可以求出x0和y0满足m1*x0+m2*y0=c，显然x0=c/d*x,y0=c/d*y，并且我们知道，X、Y的通项公式为：

X=x0+(m2/d)*k

Y=y0-(m1/d)*k

因此为求出最小的正整数X，我们总能用m2/d来调节x0使X最小。那么，若给出的是超过两组的(m,r)呢？这样解决：将r0=X(X就是用前两组求出的X)，m0=m1*m2/d(即m0是m1和m2的最小公倍数),那么若有超过两组的(m,r)，最后的答案ans必满足:ans%m0=r0。因为ans=m0*k+r0，因此ans%m1=(m0*k+r0)%m1=r0%m1=X%m1=r1,同理对(m2,r2)也是。这样我们就将前两组合并成新的一组(m0,r0)。这样就懂了吧，只要依次合并，

//m1、m2、……mk不一定两两互质。
//参数：m[i]：k个不一定两两互质的数。
// a[i]：X模mi的余数。
//返回：有解返回true，答案在a[1] 中；
// 无解返回false。
i64 a[15],m[15];
int n;


i64 exGcd(i64 a,i64 b,i64 &x,i64 &y)
{
    i64 t,d;
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    d=exGcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

bool modular1(i64 a[],i64 m[],int k)
{
    i64 d,t,c,x,y,i;

    for(i=2;i<=k;i++)
    {
        d=exGcd(m[1],m[i],x,y);
        c=a[i]-a[1];
        if(c%d) return false;
        t=m[i]/d;
        x=(c/d*x%t+t)%t;
        a[1]=m[1]*x+a[1];
        m[1]=m[1]*m[i]/d;
    }
    return true;
}