原根学习小记

（1）在数论，特别是整除理论中，原根是一个很重要的概念。

对于两个正整数，由欧拉定理可知，存在正整数， 比如说欧拉函数，即小于等于 m 的正整数中与 m 互质的正整数的个数，使得。由此，在时，定义对模的指数为使成立的最小的正整数。由前知 一定小于等于 ，若，则称是模的原根。

设，则等于6。

• 设，由于，而，所以 2 不是模 7 的一个原根。
• 设，由于，，，，，，因此有，所以 3 是模 7 的一个原根。

（2）原根的一些性质

• 可以证明，如果正整数和正整数 d 满足，则 d 整除 。因此整除。在例子中，当时，我们仅需要验证 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的余数即可。

• 记，则模 m 两两不同余。因此当是模的原根时，构成模 m 的简化剩余系。

• 模有原根的充要条件是，其中是奇质数，是任意正整数。