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 problem1 link

分别计算可以得到(a,b)的有哪些二元组，以及可以得到(c,d)的有哪些二元组。然后在公共的二元组中找到和最大的即可。

problem2 link

设最后的排序为$r=[2,4,1,0,5,3]$.初始时$2=4=1=0=5=3$。从后向前考虑每一个使用的技能。最后一个使用的技能一定是将某些等于符号变成了大于符号。倒数第二次使用的技能一定是将目前的某些等于号变成大于号（或者没有改变）。依次类推直到所有的符号都变成了大于号。假设存在一个正确的序列可以满足要求，将其作为当前答案。如果有一个其他的技能首先被使用也不会冲突的话，那么把它放在当前答案的最前面也无所谓。所以每次选择技能只要使得当前没有冲突即可。

problem3 link

将每个数看做一个变量。对每个出现的质因子建立一个方程，要求这个质因子出现偶数次。另外每一行没一列各建立一个方程，表示出现奇数次。然后进行高斯消元，计算自由元的个数。

code for problem1

#include <algorithm>
#include <set>

class PairGame {
 public:
  int maxSum(int a, int b, int c, int d) {
    auto Find = [&](int x, int y, std::set<std::pair<int, int>> *result) {
      while (x > 0 && y > 0) {
        result->insert({x, y});
        if (x == y) break;
        if (x > y)
          x -= y;
        else
          y -= x;
      }
    };
    std::set<std::pair<int, int>> result1;
    std::set<std::pair<int, int>> result2;
    Find(a, b, &result1);
    Find(c, d, &result2);
    int result = -1;
    for (const auto &e : result1) {
      if (result2.find(e) != result2.end()) {
        result = std::max(result, e.first + e.second);
      }
    }
    return result;
  }
};

code for problem2

#include <string>
#include <vector>

class CandidatesSelection {
 public:
  std::string possible(const std::vector<std::string> &s,
                       const std::vector<int> &v) {
    int n = static_cast<int>(s.size());
    int m = static_cast<int>(s[0].size());

    std::vector<int> rank(n, 0);
    long long used_skills = 0;

    while (true) {
      bool find_one = true;
      for (int i = 0; i < m; ++i) {
        if ((used_skills & (1ll << i)) == 0) {
          bool ok = true;
          for (int j = 1; j < n && ok; ++j) {
            ok &= (rank[j] != rank[j - 1] || s[v[j]][i] >= s[v[j - 1]][i]);
          }
          if (ok) {
            used_skills |= 1ll << i;
            find_one = true;
            std::vector<int> new_rank(n);
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
              if (rank[j] != rank[j - 1] || s[v[j]][i] != s[v[j - 1]][i]) {
                new_rank[j] = new_rank[j - 1] + 1;
              } else
                new_rank[j] = new_rank[j - 1];
            }
            rank = new_rank;
          }
        }
      }
      if (!find_one) break;
    }
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
      if (rank[i] == rank[i - 1] && v[i] < v[i - 1]) {
        return "Impossible";
      }
    }
    return "Possible";
  }
};

code for problem3

#include <bitset>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
#include <vector>

constexpr int KMAXCOLUMN = 20 * 20 + 1;
constexpr int KMOD = 1000000007;

class PerfectSquare {
 public:
  int ways(const std::vector<int> &x) {
    const int n = static_cast<int>(std::sqrt(x.size()) + 0.1);
    std::unordered_map<int, std::vector<int>> mapper;
    for (int i = 0; i < n * n; ++i) {
      int t = x[i];
      for (int j = 2; j * j <= t; ++j) {
        int cnt = 0;
        while (t % j == 0) {
          cnt ^= 1;
          t /= j;
        }
        if (cnt != 0) {
          mapper[j].push_back(i);
        }
      }
      if (t > 1) {
        mapper[t].push_back(i);
      }
    }

    std::vector<std::bitset<KMAXCOLUMN>> matrix;
    for (auto it = mapper.begin(); it != mapper.end(); ++it) {
      std::bitset<KMAXCOLUMN> row;
      for (auto x : it->second) {
        row[x] = 1;
      }
      matrix.push_back(row);
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      std::bitset<KMAXCOLUMN> row1;
      std::bitset<KMAXCOLUMN> row2;
      for (int j = 0; j < n; ++j) {
        row1[i * n + j] = 1;
        row2[j * n + i] = 1;
      }
      row1[n * n] = 1;
      row2[n * n] = 1;
      matrix.push_back(row1);
      matrix.push_back(row2);
    }
    int free_num = Gauss(&matrix, n * n);
    if (free_num == -1) {
      return 0;
    }
    int result = 1;
    for (int i = 0; i < free_num; ++i) {
      result = result * 2 % KMOD;
    }
    return result;
  }

 private:
  int Gauss(std::vector<std::bitset<KMAXCOLUMN>> *matrix, int m) {
    int n = static_cast<int>(matrix->size());
    std::vector<bool> visit(n, false);
    int not_free_num = 0;
    for (int j = 0; j < m; ++j) {
      for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if ((*matrix)[i][j] != 0 && !visit[i]) {
          visit[i] = true;
          ++not_free_num;
          for (int k = 0; k < n; ++k) {
            if (k != i && (*matrix)[k][j] != 0) {
              (*matrix)[k] ^= (*matrix)[i];
            }
          }
          break;
        }
      }
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      if (!visit[i] && (*matrix)[i][m] != 0) {
        return -1;
      }
    }
    return m - not_free_num;
  }
};