微积分学习笔记三：定积分

1、介值定理：设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，那么对于任意的u， f(a)<=u<=f(b)或者f(b)<=u<=f(a)，在[a,b]上存在c使得f(c)=u。

2、积分中值定理：如果函数f(x)在[a,b]连续，那么在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

[int_{a}^{b}fleft(x ight )dx=fleft(xi ight )left(b-a ight ),xiin [a,b]]

证明：由于f(x)在[a,b]上连续，那么存在最大值最小值M，m。所以$m(b-a)leq int_{a}^{b}fleft(x ight )dxleq M(b-a)$，即

[mleq frac{1}{b-a}int_{a}^{b}fleft(x ight )dxleq M]

由介值定理，在[a,b]上存在一点ξ使得$f(xi)= frac{1}{b-a}int_{a}^{b}fleft(x ight )dx$，即

[int_{a}^{b}fleft(x ight )dx=fleft(xi ight )left(b-a ight ),xiin [a,b]]

3、设f(t)在[a,b]上连续，那么函数$P(x)=int_{a}^{x}f(t)dt,xin [a,b]$在[a,b]上可导，且

[P^{^{'}}(x)=frac{d}{dx}int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)]

证明： 设有$Delta x$，满足$x+Delta xin[a,b]$，那么P(x)的增量

$Delta P(x)=P(x+Delta x)-P(x)=int_{a}^{x+Delta x}f(t)dt-int_{a}^{x}f(t)dt=int_{x}^{x+Delta x}f(t)dt$

由积分中值定理，在$[x,x+Delta x]$中间存在ξ，使得

[Delta P(x)=int_{x}^{x+Delta x}f(t)dt=f(xi)[(x+Delta x)-x]=f(xi)Delta x]

即$frac{Delta P(x)}{Delta x}=f(xi)$，所以当$Delta x ightarrow 0$时，$x+Delta x ightarrow x$，$xi ightarrow x$，所以

[lim_{Delta x ightarrow 0}frac{Delta P(x)}{Delta x}=lim_{xi ightarrow x}f(xi)=f(x)]

即

[P^{^{'}}(x)=frac{d}{dx}int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)]

4、牛顿-莱布尼茨公式:设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，那么

[int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)mid _{a}^{b}=F(b)-F(a)]

证明：由(3)可得,函数$P(x)=int_{a}^{x}f(t)dt,xin [a,b]$也是f(x)的一个原函数，所以F(x)与P(x)最多差一个常数，令F(x)=P(x)+C，那么

$F(a)=P(a)+C=int_{a}^{a}f(t)dt+C=C$

$F(b)=P(b)+C=int_{a}^{b}f(t)dt+C=int_{a}^{b}f(t)dt+F(a)$

所以$int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

5、反常积分的计算方式：

$(1)int_{a}^{oo}f(x)dx=lim_{b ightarrow oo}int_{a}^{b}f(x)dx$

$(2)int_{-oo}^{b}f(x)dx=lim_{a ightarrow -oo}int_{a}^{b}f(x)dx$

$(3)int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{xi ightarrow 0^{+}}int_{a}^{b-xi}f(x)dx$

$(4)int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{xi ightarrow 0^{-}}int_{a+xi}^{b}f(x)dx$

6 、$Gamma$函数：$Gamma (r)=int_{0}^{+oo}x^{r-1}e^{-x}dx,(r>0)$

(1)$Gamma (r+1)=rGamma(r)$

证明：$Gamma (r+1)=int_{0}^{+oo}x^{r}e^{-x}dx$

$=-x^{r}e^{-x}|^{+oo}_{0}+int_{0}^{+oo}rx^{r-1}e^{-x}dx$

$=rint_{0}^{+oo}x^{r-1}e^{-x}dx=rGamma (r)$

(2)$Gamma(frac{1}{2})=sqrt(pi),Gamma (1)=1$,$Gamma (n+1)=n$!