１ 下面的是下界，上面的是 上界，所以这个取值范围为空，答案应该是０
２ $|x|$
３ $sum_{0leq kleq 5}a_{k}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$
$sum_{0leq k^{2}leq 5}a_{k^{2}}=sum_{k=-2}^{2}a_{k^{2}}=a_{4}+a_{1}+a_{0}+a_{1}+a_{4}$
4 $sum_{1leq i<j<kleq 4}a_{ijk}=sum_{i=1}^{2}sum_{j=i+1}^{3}sum_{k=j+1}^{4}a_{ijk}=((a_{123}+a_{124})+a_{134})+a_{234}$
$sum_{1leq i<j<kleq 4}a_{ijk}=sum_{k=3}^{4}sum_{j=2}^{k-1}sum_{i=1}^{j-1}a_{ijk}=a_{123}+(a_{124}+(a_{134}+a_{234}))$
5 两个求和符号用了同样的下标符号，其实它们是不同的，所以不能约分。
６ $[1leq jleq n](n-j+1)$
7 $mx^{overline{m-1}}$
8 当$m>0$时，为0;当$m=0$为1;当$m<0$时为$frac{1}{|m|!}$
9 $x^{overline{m+n}}=x^{overline{m}}(x+m)^{overline{n}}$
10 $uDelta v+E_{v}Delta u=vDelta u+E_{u}Delta v$,这样就对称了。
11 $a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0}-sum_{0leq k < n}a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})$
$=a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0}-sum_{0leq k < n}a_{k+1}b_{k+1}+sum_{0leq k < n}a_{k+1}b_{k}$
$=a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0}-sum_{1leq k leq n}a_{k}b_{k}+sum_{0leq k < n}a_{k+1}b_{k}$
$=-sum_{0leq k < n}a_{k}b_{k}+sum_{0leq k < n}a_{k+1}b_{k}$
$=sum_{0leq k < n}(a_{k+1}-a_{k})b_{k}$
12 (1)对于任意两个不同的$k_{1},k_{2}$，有$p(k_{1}) eq p(k_{2})$
(2)对于任意一个整数$x$，存在唯一的一个整数$k$满足$p(k)=x$
13 令$R_{0}=alpha,R_{n}=R_{n-1}+(-1)^{n}(eta+gamma n+delta n^{2})$,所以$R_{n}=A(n)alpha+B(n)eta+C_{n}gamma +D_{n}delta $
(1)令$R_{n}=1$可以得到:$alpha=1,eta=gamma =delta =0$,所以$A_{n}=1$
(2)令$R_{n}=(-1)^{n}$，可以得到:$alpha=-1,eta=2,gamma=delta=0$,所以$-A(n)+2B(n)=(-1)^{n}$
(3)令$R_{n}=(-1)^{n}n$,可以得到:$-B(n)+2C(n)=(-1)^{n}n$
(4)令$R_{n}=(-1)^{n}n^{2}$，可以得到:$B(n)-2C(n)+2D(n)=(-1)^{n}n^{2}$.
其中$sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}=D(n)=frac{(-1)^{n}n^{2}-B(n)+2C(n)}{2}=frac{(-1)^{n}n^{2}+(-1)^{n}n}{2}=frac{(-1)^{n}(n^{2}+n)}{2}$
14 $sum_{1leq j leq k leq n}2^{k}=sum_{1leq j leq n}sum_{jleq k leq n}2^{k}=sum_{1leq j leq n}(2^{n+1}-2^{j})=n2^{n+1}-sum_{1leq j leq n}2^{j}=n2^{n+1}-(2^{n+1}-2)=(n-1)2^{n+1}+2$
15 $sum_{k=1}^{n}k^{3}+sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k^{2})$
$=sum_{k=1}^{n}k*k(k+1)$
$=sum_{k=1}^{n}ksum_{j=1}^{k}2j$
$=2sum_{1leq j leq k leq n}jk$
$=sum_{1leq j,k leq n}jk+sum_{1leq j=k leq n}jk=left (sum_{1leq k leq n}k ight )^{2}+sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=(frac{n(n+1)}{2})^{2}+sum_{k=1}^{n}k^{2}$
所以$sum_{k=1}^{n}k^{3}=(frac{n(n+1)}{2})^{2}$