具体数学第二版第四章习题（1)

1 令$n=2^{a}3^{b}5^{c}$，它的因子个数为$k=(a+1)(b+1)(c+1)$。所以$k=1,2,3,4,5,6$时对应的$n=1,2,4,6,16,12$

2 $Gcd(n,m)*Lcm(n,m)=n*m$

$Gcd((n)mod(m),m)*Lcm((n)mod(m),m)=(n)mod(m)*m$

$Gcd(n,m)=Gcd((n)mod(m),m)$

$Rightarrow Lcm(n,m)=Lcm((n)mod(m),m)*frac{n}{(n)mod(m)}$

3 $x$是整数时满足，$x$为实数时$pi (x)-pi(x-1)=[left lfloor x ight floor is$ $prime]$

4 depth1: $frac{1}{1},frac{1}{-1},frac{-1}{-1},frac{-1}{1}$

 depth2: $frac{1}{2},frac{2}{1},frac{2}{-1},frac{-1}{-2},frac{-2}{-1},frac{-2}{1},frac{-1}{2}$

如果把分子分母看作一个二维向量的话，每一层都是顺时针排列的。

5 

$L^{k}=egin{bmatrix}
1 & k\
0 & 1
end{bmatrix}$

$R^{k}=egin{bmatrix}
1 & 0\ 
k & 1
end{bmatrix}$

6 $(x)mod(0)=x ightarrow a=b$

7 $m$需要满足$(m)mod(10)=0,(m)mod(9)=k,(m)mod(8)=1$

$(m)mod(10)=0$说明$m$是偶数，$(m)mod(8)=1$说明$m$是奇数。这是矛盾的。

8 $9x+y=3k,10x=5p$.这说明$y$可以取0,3，$x$可以取0,1.

9 $3^{2t+1}mod(4)=3$。所以$3^{2t+1}=4k+3$.所以$frac{3^{2t+1}-1}{2}=2k+1$是奇数。

另外$frac{3^{77}-1}{2}$可以被$frac{3^{7}-1}{2}$整除。因为$3^{77}-1=(3^{7}-1)(3^{70}+3^{63}+..+3^{7}+3^{0})$

10 $999=3^{3}37^{1} ightarrow varphi (999)=999(1-frac{1}{3})(1-frac{1}{37})=648$

11 $f(n)=g(n)-g(n-1) ightarrow sigma (0)=1,sigma (1)=-1,sigma (n)=0,n>1$

12 $sum_{d|m}sum _{k|d}mu (k)g(frac{d}{k})=sum_{d|m}sum _{k|d}mu (frac{d}{k})g(k)=sum_{k|m}sum _{d|frac{m}{k}}mu (d)g(k)=sum_{k|m}g(k)*[frac{m}{k}=1]=g(m)$

13 $n$的每个质因子个数都是1.（1）$n_{p}leq 1$ (2) $mu (n) eq 0$

14 $k>0$时两个都成立。

15 很明显5没有作为$e_{n}$