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BST与Treap讲解

　　顺便推荐一下这本书。。。

正文开始

在认识平衡树之前，我们需要先认识BST。

一.BST

　　BST就是二叉查找树(Binary Search Tree)。

　　给定一棵二叉树，树上的每一个节点带有一个数值，称为节点的“关键码”。

那么一棵BST定义为：

　　1.该节点的关键码不小于它的左子树中任意节点的关键码

　　2.该节点的关键码不大于它的右子树中任意节点的关键码

满足：BST的中序遍历是一个关键码单调递增的节点序列

1.BST的建立

　　有时我们会遇到越界的情况，所以为了避免这种情况，我们额外建立两个节点，一个节点的关键码为正无穷，另一个节点的关键码为负无穷。

　　我们在开始的时候要建立由这两个节点构成的一棵BST，称为一棵“初始BST”。

例如以下就是一颗初始BST

在下面的操作中，我们暂且认为没有关键码相同的节点。

#define N 100010//节点数
#define INF 0x7fffffff//极大值(视为正无穷)
struct BST
{
    int l,r;//左右子节点在数组中的位置
    int val;//节点关键码
}a[N];//数组模拟链表
int tot,root;
int New(int val)//新加节点
{
    a[++tot].val=val;
    return tot;
}
void Build()
{
    New(-INF);//初始BST的初始节点
    New(INF);//初始BST的初始节点
    root=1;//根节点
    a[1].r=2;//第一个节点的右儿子为编号为二的点，如上图
}

有关键码相同的节点同理。

2.BST的检索

　　在BST中查询是否存在关键码为val的节点。

　　设变量p等于根节点root，执行以下过程：

　　1.若p的关键码等于val，则已经找到。

　　2.若p的关键码大于val，那么有两种可能性：

　　　　(1)若p的左子节点为空，则在此BST中没有val节点。

　　　　(2)若p的左子节点不为空，就在p的左子树中递归查找。

　　3.若p的关键码小于val，那么也有两种可能性：

　　　　(1)若p的右子节点为空，则在此BST中没有val节点。

　　　　(2)若p的左右子节点不为空，就在p的右子树中递归查找。

例如：

　　上图是查找6的过程

　　上图是查找3的过程,发现查找3不存在

int Get(int p,int val)
{
    if(p==0)//不存在此节点，即搜索失败
        return 0;
    if(val==a[p].val)//搜索成功
        return p;
    if(val<a[p].val)//判断情况，详见上文
        return Get(a[p].l,val);
    else
        return Get(a[p].r,val);
}

3.BST的插入

　　在原BST中新加一个节点，值为val。

　　我们暂且认为没有关键码相同的节点，即原BST中不存在值为val的节点。

　　与BST的检索相同，设变量p等于根节点root，执行以下过程：

　　　　1.若p的关键码大于val，就在p的左子树中递归查找新建点的位置。

　　　　2.若p的关键码小于val，就在p的右子树中递归查找新建点的位置。

　　　　3.在发现要走向的p的子节点为空，说明val不存在时，直接建立关键码为val的新节点为p的子节点

例如：

　　插入3和8的过程

void Insert(int &p,int val)
{
    if(p==0)
    {
        p=New(val);//注意p是引用，其父节点的l或r的值会被同时更新
        return;
    }
    if(p<a[p].val)//与上述相同
        Insert(a[p].l,val);
    else
        Insert(a[p].r,val);
}

有关键码相同的节点同理。

4.BST求前驱/后继

　　定义：

　　　　前驱：BST中val节点的前驱定义为值小于val的前提下最大的数（关键码）

　　　　后继：BST中val节点的前驱定义为值大于val的前提下最小的数（关键码）

　　检索后继的过程如下：

　　　　初始化ans为具有正无穷关键码的那个节点的编号。然后，在BST中检索val。在检索的过程中，每经过一个节点，都检查该节点的关键码，判断能否更新所求的后继ans。

　　　　检索完成后，有三种可能的结果：

　　　　　　1.没有找到val。

　　　　　　此时val的后继就在已经经过的节点中，ans即为所求。

　　　　　　2.找到了关键码为val的节点p，但p没有右子树。

　　　　　　与上一种情况相同，ans即为所求。

　　　　　　3.找到了关键码为val的节点p，且p有右子树。

　　　　　　从p的右节点出发，一直向左走，就找到了val的后继。

例如：

　　求3的后继

　　求5的后继

int GetNxt(int val)
{
    int ans=2;//a[2].val=INF
    int p=root;
    while(p)
    {
        if(val==a[p].val)//检索成功
        {
            if(a[p].l>0)//有右子树
            {
                p=a[p].l;
                while(a[p].r>0)
                    p=a[p].r;//从右子树上一直向左走
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val)//每经过一个节点，都尝试更新后继
            ans=p;
        if(val<a[p].val)
            p=a[p].l;
        else
            p=a[p].r;
    }
    return ans;
}

　　检索前驱的过程与后继相似：

int GetPre(int val)
{
    int ans=1;//a[1].val=-INF
    int p=root;
    while(p)
    {
        if(val==a[p].val)
        {
            if(a[p].l>0)
            {
                p=a[p].l;
                while(a[p].r>0)
                    p=a[p].r;//从左子树上一直向右走
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val<val&&a[p].val>a[ans].val)
            ans=p;
        if(val<a[p].val)
            p=a[p].l;
        else
            p=a[p].r;
    }
    return ans;
}

5.BST的节点删除

　　从BST中删除关键码为val的节点。

　　首先，在BST中检索val，得到节点p。

　　若p的子节点个数小于2，则直接删除p，并令p的子节点代替p的位置，与p的父节点相连。

　　若p既有左子树又有右子树，则在BST中求出val的后继节点nxt。因为nxt没有左子树，所以直接删除nxt，并令nxt的右子树代替nxt的位置。最后，再让nxt节点代替p节点，删除p即可。

例如：

　　删除5

　　5的后继6代替5

　　6的右子树8代替6

　　这棵树就变成了这样：

void Remove(int val)
{
    int &p=root;//检索节点val，得到节点p
    while(p)
    {
        if(a[p].val==p)
            break;
        if(val<a[p].val)
            p=a[p].l;
        else
            p=a[p].r;
    }
    if(p==0)
        return;
    if(a[p].l==0)//没有左子树
        p=a[p].r;//右子树代替p的位置，注意p是引用
    else if(a[p].r==0)//没有右子树
        p=a[p].l;//左子树代替p的位置，注意p是引用
    else//既有左子树又有右子树
    {
        int nxt=a[p].r;//求后继节点
        while(a[nxt].l>0)
            nxt=a[nxt].l;
        Remove(a[nxt].val);//nxt一定没有左子树，直接删除
        a[nxt].l=a[p].l;//令节点nxt代替节点p的位置
        a[nxt].r=a[p].r;
        p=nxt;//注意p是引用
    }
}

6.BST的时间复杂度

　　在随机数据中，BST一次操作的期望复杂度为O(logN)。然而，BST很容易退化，例如在BST中依次插入一个有序数列，将会得到一条链，平均每次操作的复杂度为O(N)。我们称这种左右子树大小相差很大的BST是“不平衡”的。

　　有很多方法可以维持BST的平衡，从而产生了各种平衡树。于是引出了下面我们介绍的入门级平衡树——Treap。

二.Treap

　　满足BST性质且中序遍历为相同的二叉查找树不是唯一的。这些二叉查找树是等价的，它们维护的是相同的一组数值。在这些二叉查找树上执行相同的操作，将得到相同的结果。因此，我们可以维持BST性质的基础上，通过改变二叉查找树的形态，使得树上每个节点的左右子树大小达到平衡，从而使整棵树的深度维持在O(logN)级别。

　　改变形态并保持BST性质的方法之一就是“旋转”。最基本的旋转操作称为“单旋转”，它又分为“左旋”和“右旋”。如下图所示。

原树：

右旋zig(y):

将右旋后的树再进行左旋又得到了原树

　　注意：某些书籍把左旋右旋定义为一个节点绕着其父节点向左或向右旋转。这里后面即将讲解的Treap代码仅记录左右子节点，没有记录父节点，为了方便起见，统一以“旋转前处于父节点位置”（旋转后处于子节点位置）的节点作为左、右旋的作用对象（函数参数）。

　　以右旋为例。在初始情况下，x是y的左子节点，A和B分别是x的左右子树，C是y的右子树。

　　“右旋”操作在保持BST性质的基础上，把x变为y的父节点。因为x的关键码小于y的关键码，所以y应该作为x的右子节点。

　　当x变成y的父节点后，y的左子树就空了出来，于是x原来的右子树B就恰好作为y的左子树。

　　右旋操作的代码如下，zig(p)可以理解为把p的左子节点绕着p向右旋转：

void zig(int &p)
{
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r;
    a[q].r=p;
    p=q;//注意是引用
}

　　左旋操作的代码如下，zag(p)可以理解为把p的右子节点绕着p向左旋转：

void zag(int &p)
{
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l;
    a[q].l=p;
    p=q;//注意是引用
}

　　合理的旋转操作可使BST变得更“平衡”。如下图所示，对其形态为一条链的BST进行一系列单旋操作后，这棵BST就变得比较平衡了。

原树：

右旋zig(3):

再右旋zig(4):

　　现在，我们的问题是，怎样才算合理的旋转操作呢？我们发现，在随机数据下，普通的BST就是趋近于平衡的。Treap的思想就是利用随机来创造平衡条件。因为在旋转过程中必须维持BST性质，所以Treap就把随机作用在堆性质上。

　　Treap就是Tree+Heap。Treap在插入每个新节点时，给该节点随机生成一个额外的权值。然后像二叉堆的插入过程一样，自底向上依次检查，当某个节点不满足大根堆性质时，就执行单旋转，使该点与其父节点的关系发生对换。

　　特别地，对于删除操作，因为Treap支持旋转，我们可以直接找到需要删除的节点，并把它向下旋转成叶节点，最后直接删除 。这样就避免了采取类似普通BST的删除方法可能导致的节点信息更新。堆性质维护等复杂问题。

　　总而言之，Treap通过适当的单旋转，在维持节点关键码满足BST性质的同时，还是每个节点上随机生成的额外权值满足大根堆性质。Treap是一种平衡二叉搜索树，检查、插入、求前驱后继以及删除节点的时间复杂度都是O(logN)。

三.例题

1.BZOJ3224 普通平衡树

题目描述：

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

题解：

Treap模版题目。

但是我们发现有可能会有重复的数字，所以我们稍加变动。

我们给每个节点增加一个域cnt，记录该节点相同的数字有多少，即该节点的“副本数”，初始值为1。

插入相同的值cnt++，减少则cnt--，直到cnt减为0时删除该点。

附上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
#define N 100010
int n,tot,root;
struct Treap
{
    int l,r；
    int val,len;//节点关键码、权值
    int cnt,siz;//副本数、子树大小
}a[N];
int New(int x)
{
    a[++tot].val=x;
    a[tot].len=rand();
    a[tot].cnt=a[tot].siz=1;
    return tot;
}
void Update(int p)
{
    a[p].siz=a[a[p].l].siz+a[a[p].r].siz+a[p].cnt;
}
void Build()
{
    New(-INF);
    New(INF);
    root=1;
    a[1].r=2;
    Update(root);
}
int GetRankByVal(int p,int k)
{
    if(p==0)
        return 0;
    if(k==a[p].val)
        return a[a[p].l].siz+1;
    else if(k<a[p].val)
        return GetRankByVal(a[p].l,k);
    else 
        return GetRankByVal(a[p].r,k)+a[a[p].l].siz+a[p].cnt;
}
int GetValByRank(int p,int rank)
{
    if(p==0)
        return INF;
    if(a[a[p].l].siz>=rank)
        return GetValByRank(a[p].l,rank);
    else if(a[a[p].l].siz+a[p].cnt>=rank)
        return a[p].val;
    else
        return GetValByRank(a[p].r,rank-a[a[p].l].siz-a[p].cnt);
}
void zig(int &p)
{
    int q=a[p].l;
    a[p].l=a[q].r;
    a[q].r=p;
    p=q;
    Update(a[p].r);
    Update(p);
}
void zag(int &p)
{
    int q=a[p].r;
    a[p].r=a[q].l;
    a[q].l=p;
    p=q;
    Update(a[p].l);
    Update(p);
}
void Insert(int &p,int k)
{
    if(p==0)
    {
        p=New(k);
        return;
    }
    if(k==a[p].val)
    {
        a[p].cnt++;
        Update(p);
        return;
    }
    if(k<a[p].val)
    {
        Insert(a[p].l,k);
        if(a[p].len<a[a[p].l].len)
            zig(p);
    }
    else
    {
        Insert(a[p].r,k);
        if(a[p].len>a[a[p].r].len)
            zag(p);
    }
    Update(p);
}
void Remove(int &p,int k)
{
    if(p==0)
        return;
    if(k==a[p].val)
    {
        if(a[p].cnt>1)//有重复，减少副本数
        {
            a[p].cnt--;
            Update(p);
            return;
        }
        if(a[p].l||a[p].r)//非叶子节点，向下旋转
        {
            if(a[p].r==0||a[a[p].l].len>a[a[p].r].len)
            {
                zig(p);
                Remove(a[p].r,k);
            }
            else
            {
                zag(p);
                Remove(a[p].l,k);
            }
            Update(p);
        }
        else
            p=0;//叶子节点删除
        return;
    }
    if(k<a[p].val)
        Remove(a[p].l,k);
    else
        Remove(a[p].r,k);
    Update(p);
}
int GetPre(int k)
{
    int ans=1;
    int p=root;
    while(p)
    {
        if(k==a[p].val)
        {
            if(a[p].l>0)
            {
                p=a[p].l;
                while(a[p].r>0)
                    p=a[p].r;
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val<k&&a[p].val>a[ans].val)
            ans=p;
        if(k<a[p].val)
            p=a[p].l;
        else
            p=a[p].r;
    }
    return a[ans].val;
}
int GetNxt(int k)
{
    int ans=2;
    int p=root;
    while(p)
    {
        if(k==a[p].val)
        {
            if(a[p].r>0)
            {
                p=a[p].r;
                while(a[p].l>0)
                    p=a[p].l;
                ans=p;
            }
            break;
        }
        if(a[p].val>k&&a[p].val<a[ans].val)
            ans=p;
        if(k<a[p].val)
            p=a[p].l;
        else
            p=a[p].r;
    }
    return a[ans].val;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    Build();
    while(n--)
    {
        int x,k;
        scanf("%d%d",&k,&x);
        if(k==1)
            Insert(root,x);
        if(k==2)
            Remove(root,x);
        if(k==3)
            printf("%d
",GetRankByVal(root,x)-1);
        if(k==4)
            printf("%d
",GetValByRank(root,x+1));
        if(k==5)
            printf("%d
",GetPre(x));
        if(k==6)
            printf("%d
",GetNxt(x));
    }
    return 0;
}

2.BZOJ1588 [HNOI2002]营业额统计