函数表达式[置顶] 母函数详解

最近使用开发的过程中出现了一个小问题，顺便记录一下原因和方法--函数表达式

    

母函数（Generating function）详解

    

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以供给关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

    

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目标一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

    

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这里先给出两句话，不懂的可以等看完这篇文章再回过火来看：

    

"把组合问题的加法规律和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

    

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造. "

    

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我们首先来看下这个多项式乘法：

    

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

 

    

由此可以看出:

    

1. x的系数是a₁,a₂,…a_{n的单个组合的全体。}

    

2. x²的系数是a₁,a₂,…a_n的两个组合的全体。

    

………

    

n. xⁿ的系数是a₁,a₂,….a_n的n个组合的全体（只有1个）。

    

由此失掉：

    

 

    

母函数的定义：

    

    

对于序列a₀，a₁，a₂，…构造一函数：

    

 

    

称函数G(x)是序列a₀，a₁，a₂，…的母函数

    

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这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

    

第一种：

    

 

    

有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 

    

斟酌用母函数来接吻这个问题：

    

我们假设x表现砝码，x的指数表现砝码的重量，这样：

    

1个1克的砝码可以用函数1+x表现，

    

1个2克的砝码可以用函数1+x²表现，

    

1个3克的砝码可以用函数1+x³表现，

    

1个4克的砝码可以用函数1+x⁴表现，

    

下面这四个式子懂吗？

    

我们拿1+x²来讲，前面已经说过，x表现砝码，x的指数表现重量，即这里就是一个品质为2的砝码，那么前面的1表现什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（懂得！）

    

不晓得大家懂得没，我们这里结合前面那句话：

    

"把组合问题的加法规律和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

    

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1+x²表现了两种情况：1表现品质为2的砝码取0个的情况，x²表现品质为2的砝码取1个的情况。

    

这里说下各项系数的意思：

    

在x前面的系数a表现响应品质的砝码取a个，而1就表现响应砝码取0个，这里可不能简单的以为响应砝码取0个就该是0*x²(想下为何？结合数学式子)。

    

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所以，前面说的那句话的意思大家可以懂得了吧？

    

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表现：

    

(1+x)(1+x²)(1+x³)(1+x⁴)

    

=(1+x+x²+x³)(1+x³+x⁴+x⁷)

    

=1+x+x²+2x³+2x⁴+2x⁵+2x⁶+2x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰ 

    

从下面的函数晓得：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

    

    例如右端有2x⁵ 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；一样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

    

    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1。

    

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接着下面，接下来是第二种情况：

    

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

    

大家把这种情况和第一种比拟有何区分？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

    

    

以开展后的x⁴为例，其系数为4，即4拆分红1、2、3之和的拆分数为4；

    

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

    

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

    

 

    

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区分的球放到n个无标记的盒子，盒子答应空，也答应放多于一个球）。

    

整数拆分红若干整数的和，方法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

    

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现在以下面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

    

    

 

    

 

    每日一道理
即使青春是一枝娇艳的花，但我明白，一枝独放永远不是春天，春天该是万紫千红的世界。 即使青春是一株大地伟岸的树，但我明白，一株独秀永远不是挺拔，成行成排的林木，才是遮风挡沙的绿色长城。即使青春是一叶大海孤高的帆，但我明白，一叶孤帆很难远航，千帆竞发才是大海的壮观。

    

 #include<iostream>
 usingnamespace std;

 constint _max = 10001;
 //c1是保存各项品质砝码可以组合的数目
 //c2是中间量，保存没一次的情况
 intc1[_max], c2[_max];
 intmain()
 {   //int n,i,j,k;
     int nNum;  //
     int i, j, k;

     while(cin >> nNum)
     {
        for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
        {

            for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
               for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
               {
                   c2[j+k] += c1[j];
               }
            for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
            {
               c1[j] = c2[j];
               c2[j] = 0;
            }
        }
        cout << c1[nNum] << endl;
     }
     return 0;
 }

    

    

    

 

    

我们来解释下下面标记的各个地方：

    

① 、首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x²+..xⁿ)初始化，把品质从0到n的所有砝码都初始化为1.

    

 

    

② 、 i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，下面给出的第二种母函数关系式里，每个括号括起来的就是一个表达式。

    

 

    

 

    

③、j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x²+x⁴....)里，第j个就是x^2*j.

    

 

    

③ k表现的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。

    

 

    

④ 、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的

    

 

    

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咱们赶快一气呵成，来几道题目：

    

（响应题目剖析均在响应的代码里分析）

    

1.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

    

代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8988818

    

这题大家看看简单不？把下面的模板懂得了，这题就是小Case!

    

 

    

看看这题：

    

2.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

    

代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8988859

    

要说和前一题的区分，就只需要改2个地方。 在i遍历表达式时（可以参考我的资料---《母函数详解》），把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来讲去还是套模板~~~

    

 

    

3.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

    

代码：http://blog.csdn.net/liujie619406439/article/details/8989012

    

这题终究变化了一点，但是万变不离其中。

    

大家好好分析下，结合代码就会懂了。

    

 

    

4.  题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

    

代码：http://www.wutianqi.com/?p=594

    

 

    

 

    

 

    

还有一些题目，大家有时间自己做做：

    

HDOJ：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

    

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附：

    

1.在维基百科里讲到了普通母函數、指數母函數、L級數、貝爾級數和狄利克雷級數：

    

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

    

2．Matrix67大牛那有篇文章：什么是生成函数：

    

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

    

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇，我这里的图片以及一些内容都引至那。

文章结束给大家分享下程序员的一些笑话语录： 程序员的愿望
　　有一天一个程序员见到了上帝.上帝: 小伙子,我可以满足你一个愿望.程序员: 我希望中国国家队能再次打进世界杯.
　　上帝: 这个啊!这个不好办啊,你还说下一个吧!
　　程序员: 那好!我的下一个愿望是每天都能休息6个小时以上.
　　上帝: 还是让中国国家打进世界杯.

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