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算法分析---主定理

在算法分析中，主定理（英语：master theorem）提供了用渐近符号表示许多由分治法得到的递推关系式的方法。此方法经由经典算法教科书《算法导论》而为人熟知。不过，并非所有递推关系式都可应用主定理。该定理的推广形式包括Akra-Bazzi定理。

假设有递推关系式

$Tleft(n ight)=aTleft(frac{n}{b} ight)+fleft(n ight)$

，其中

为问题规模，为

递推的子问题数量，

$frac{n}{b}$

为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），

为递推以外进行的计算工作。

情形一：

如果存在常数 $epsilon > 0$ ，有

$f(n) = Oleft( n^{log_b (a) - epsilon} ight)$ ，并且是多项式的小于

那么

$T(n) = Thetaleft( n^{log_b a} ight)$

情形二：

如果存在常数k ≥ 0，有

$f(n) = Thetaleft( n^{log_b a} log^{k} n ight)$

那么

$T(n) = Thetaleft( n^{log_b a} log^{k+1} n ight)$

情形三：

如果存在常数 $epsilon > 0$ ，有

$f(n) = Omegaleft( n^{log_b (a) + epsilon} ight)$ ，并且是多项式的大于

同时存在常数 $c < 1$ 以及充分大的 $n$ ，满足

$a fleft( frac{n}{b} ight) le c f(n)$

那么

$Tleft(n ight) = Theta left(f left(n ight) ight)$

常用算法中的应用：

算法	递推关系式	运算时间	备注
折半搜索	$T(n) = Tleft(frac{n}{2} ight) + Theta(1)$	$Theta(log(n))$	情形二（k = 0）
二叉树遍历	$T(n) = 2 Tleft(frac{n}{2} ight) + Theta(1)$	$Theta(n)$	情形一
归并排序	$T(n) = 2 Tleft(frac{n}{2} ight) + Theta(n)$	$Theta(nlog(n))$	情形二（k = 0）

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