1. KL散度
KL散度又称为相对熵，信息散度，信息增益。KL散度是是两个概率分布 $P$ 和 $Q$ 之间差别的非对称性的度量。 KL散度是用来 度量使用基于 $Q$ 的编码来编码来自 $P$ 的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，$P$ 表示数据的真实分布，$Q$ 表示数据的理论分布，模型分布，或 $P$ 的近似分布。
定义如下：
因为对数函数是凸函数，所以KL散度的值为非负数。
有时会将KL散度称为KL距离，但它并不满足距离的性质：
- KL散度不是对称的，即 $D_{KL} (P||Q) eq D_{KL} (Q||P)$；
- KL散度不满足三角不等式。
2. JS散度(Jensen-Shannon)
JS散度度量了两个概率分布的相似度，基于KL散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。一般地，JS散度是对称的，其取值是 $0$ 到 $1$ 之间。定义如下：
KL散度和JS散度度量的时候有一个问题：
如果两个分配 $P, Q$ 离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为 $0$。梯度消失了。
3. Wasserstein距离
Wasserstein距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下：
$Pi (P_1, P_2)$ 是 $P_1$ 和 $P_2$ 分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布 $gamma$，可以从中采样 $(x,y)∼ gamma$ 得到一个样本 $x$ 和 $y$，并计算出这对样本的距离 $||x−y||$，所以可以计算该联合分布 $gamma$ 下，样本对距离的期望值 $E _{(x, y) ∼ gamma}[||x−y||]$。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界 $inf_{gamma ∼ Pi(P_1, P_2)} E _{(x, y) ∼ gamma}[||x−y||]$ 就是Wasserstein距离。
直观上可以把 $E _{(x, y) ∼ gamma}[||x−y||]$ 理解为在 $gamma$ 这个路径规划下把土堆 $P_1$ 挪到土堆 $P_2$ 所需要的消耗。而Wasserstein距离就是在最优路径规划下的最小消耗。所以Wesserstein距离又叫Earth-Mover距离。
Wessertein距离相比KL散度和JS散度的优势在于：即使两个分布的支撑集没有重叠或者重叠非常少，仍然能反映两个分布的远近。而JS散度在此情况下是常量，KL散度可能无意义。