P1618.Cantor表

原题地址https://www.luogu.com.cn/problem/P1014

现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的：

1/1, 1/2 , 1/31, 1/4, 1/5, …

2/1, 2/2 , 2/3, 2/4, …

3/1 , 3/2, 3/3, …

4/1, 4/2, …

5/1, …

… 我们以Z字形给上表的每一项编号。第一项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2，…

输入格式  整数N（1≤N≤10000000）

输出格式  表中的第N项。

大体是这样：

(1)1/1    →   (2)1/2       (6)1/3   →  (7)1/4     (15)1/5, …

             ↙              ↗              ↙            ↗

(3)2/1,         (5)2/2       (8)2/3         (14)2/4, …

     ↓      ↗              ↙               ↗

(4)3/1          (9)3/2        (13)3/3, …

             ↙              ↗

(10)4/1        (12)4/2, …

     ↓       ↗

(11)5/1, …

斜着看感觉像开封菜（kfc）里的冰激凌，一层层地堆上去

首先，设分子是a（初始值1），分母是b（初始值1），当前所在的序数为i（初始值为1，每次操作+1，直到加到所输数字N）。

    
    int a=1,b=1,i=1;
    int n;
    cin>>n;
    if(n==1)
    {
        cout<<"1/1";//特殊情况不用过多考虑
        return 0;
    }

再看具体操作。不难发现，如果分子是1（第一行），那么标号的路径会在分母为偶数时转向左下方，分母为奇数时往前一步。

同理，分母是1时（第一列），那么标号的路径会在分子为偶数时转向右上方，分子为奇数时往下一步。

那么如果分子分母都不是1呢？这些分数可以归纳为向右上走和向左下走。这两种情况分别对应什么条件呢？

对！分子分母之和为偶数时向右上走，为奇数时向左下走！当分子分母有一个为1时（到达边界），那么再按分子、分母为1的情况处理。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int a=1,b=1,i=1;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    if(n==1)
    {
        cout<<"1/1";
        return 0;
    }
    do
    {
        if((a+b)%2==0)//向右上走
        {
            if(a!=1)//没到达边界
            {
                a--;b++;//往右（b大1）上（a小1）
            } 
            else//到达边界，往下走
            {
                b++;
            }
        }
        else//向左下走
        {
            if(b!=1)//没到达边界
            {
                a++;b--;//往左(b小1）下（a大1）    
            }
            else//到达边界，往前
            {
                a++;
            }
        } 
                i++;
    }while(i<n);
    cout<<a<<"/"<<b;
    return 0;
}