平衡二叉树仍然是一棵二叉查找树，只是在其基础上增加了“平衡”要求
平衡是指：对AVL树的任意结点来说，其左子树与右子树的高度之差的绝对值不超过1
其中左子树与右子树的高度之差称为该结点的平衡因子
由于需要对每个结点都得到平衡因子，因此需要在树的结构中加入一个变量height,用以记录以当前结点为根结点的子树的高度
1、平衡二叉树的定义
1.1、存储结构
struct node{ int data,height; //data为结点权值，height为当前结点高度 node* lchild,*rchild; //左右孩子结点地址 };
1.2、新建一个结点
node* newNode(int v) { node* Node=new node; //申请一个node型变量的地址空间 Node->data=v; Node->height=1; //结点高度初始化为1 Node->lchild=Node->rchild=NULL; //初始状态下没有左右孩子 return Node; }
1.3、获取结点root所在子树的当前高度
int getHeight(node* root) { if(root==NULL) return 0; //空结点，高度为0 return root->height; }
1.4、计算结点root的平衡因子
int getBalanceFactor(node* root) { //左子树高度减右子树高度 return getHeight(root->lchild)-getHeight(root->rchild); }
1.5、更新结点高度
//结点root所在子树的height等于其左子树的height与右子树的height的较大值加1 void updateHeight(node* root) { root->height=max(getHeight(root->lchild),getHeight(root->rchild))+1; }
2、平衡二叉树的基本操作
2.1、查找操作
//由于AVL树高度为O(logn)级别，因此AVL树的查找操作时间复杂度为O(logn) //search函数查找AVL树中数据域为x的结点 void search(node* root,int x) { if(root==NULL){ //空树，查找失败 printf("search failed! "); return; } if(x==root->data){ printf("%d ",root->data); }else if(x<root->data){ search(root->lchild,x); //往左子树搜索x }else{ search(root->rchild,x); } }
2.2、左旋
/* ①让B的左子树成为A的右子树 ②让A成为B的左子树 ③将根结点设为结点B */ void L(node* &root) { node* temp=root->rchild; root->rchild=temp->lchild; temp->lchild=root; updateHeight(root); updateHeight(temp); root=temp; }
2.3、右旋
/* ①让A的右子树成为B的左子树 ②让B作为A的右子树 ③将根结点设为结点A */ void R(node* &root) { node* temp=root->lchild; root->lchild=temp->rchild; temp->rchild=root; updateHeight(root); updateHeight(temp); root=temp; }
2.4 AVL树结点插入
①讨论结点A的平衡因子是2的情形（左子树的高度比右子树大2），于是以结点A为根结点的子树一定是图9-31的两种形态LL型与LR型之一，
当结点A的左孩子的平衡因子是1时为LL型，是-1时为LR型。
现在考虑怎样调整这两种树型，才能使树平衡。
先考虑LL型，可以把以C为根结点的子树看作一个整体，然后以结点A作为root进行右旋，便可以达到平衡，如图9-32所示。
然后考虑LR型，可以先忽略结点A,以结点C为root进行左旋，再按LL型做法进行一次右旋，如图9-33所示。
②考虑平衡因子为-2的情形（右子树高度比左子树大2），以结点A为根结点的子树一定是图9-34的两种形态RR型与RL型之一，当结点A的右孩子的平衡因子是-1时为RR型，是1时为RL型。
对RR型来说，可以把以C为根结点的子树看做一个整体，然后以结点A作为root进行左旋，便可达到平衡，如图9-35所示。
对RL型来说，可以先忽略结点A,以结点C为root进行一次右旋，再按照RR型做法进行一次左旋，如图9-36所示。
AVL树插入情况总结如下（BF表示平衡因子）
现在考虑书写插入代码，首先，AVL树的插入代码是在二叉树的插入代码基础上增加平衡操作的，因此，如果不考虑平衡操作，代码是这样的：
//插入权值为v的结点 void insert(node* &root,int v) { if(root==NULL) //到达空结点 { root=newNode(v); return; } if(v<root->data) //v比根结点的权值小 { insert(root->lchild,v); //往左子树插入 }else //v比根结点的权值大 { insert(root->rchild,v); //往右子树插入 } }
在这个基础上，由于需要从插入的结点开始从下往上判断结点是否失衡，因此需要在每一个insert函数之后更新当前结点的高度，并在这之后根据树形是LL型、LR型、RR型、RL型之一来进行平衡操作。代码如下：
//AVL树插入代码 //插入权值为v的结点 void insert(node* &root,int v) { if(root==NULL){ //到达空结点 root=newNode(v); return; } if(v<root->data){ //v比根结点权值小 insert(root->lchild,v); //往左子树插入 updateHeight(root); //更新树高 if(getBalanceFactor(root)==2){ if(getBalanceFactor(root->lchild)==1){ //LL型 R(root); }else if(getBalanceFactor(root->lchild)==-1){ //LR型 L(root->lchild); R(root); } } }else{ //v比根结点的权值大 insert(root->rchild,v); //往右子树插入 updateHeight(root); //更新树高 if(getBalanceFactor(root)==-2){ if(getBalanceFactor(root->rchild)==-1){ //RR型 L(root); }else if(getBalanceFactor(root->rchild)==1){ //RL型 R(root->rchild); L(root); } } } }
2.5、AVL树的建立
node* Create(int data[],int n) { node* root=NULL; //新建空根结点root for(int i=0;i<n;i++) { insert(root,data[i]); //将data[0]~data[n-1]插入AVL树中 } return root; //返回根结点 }
3、练习题
问题 A: 算法9-9~9-12：平衡二叉树的基本操作
输入
输入的第一行包含2个正整数n和k，分别表示共有n个整数和k次查询。其中n不超过500，k同样不超过500。
第二行包含n个用空格隔开的正整数，表示n个整数。
第三行包含k个用空格隔开的正整数，表示k次查询的目标。
输出
只有1行，包含k个整数，分别表示每一次的查询结果。如果在查询中找到了对应的整数，则输出1，否则输出0。
请在每个整数后输出一个空格，并请注意行尾输出换行。
提示
在本题中，首先需要按照题目描述中的算法完成平衡二叉树的构造过程，之后需要通过在平衡二叉树中的不断向下查找，将需要查询的值与当前节点的值进行比较，直到确定被查询的值是否存在。
通过课本中的性能分析部分，不难发现平衡二叉树的查找、插入、删除等操作的时间复杂度均为O(log2n)，这是通过利用旋转操作使二叉树保持平衡状态而保证的。
#include <iostream> #include <cstdio> #include <vector> using namespace std; #define maxn 505 int data[maxn]; vector<int> vec; //存储结构 struct node{ int data,height; node* lchild,*rchild; }; //新建一个结点 node* newNode(int v) { node* Node=new node; Node->data=v; Node->height=1; Node->lchild=Node->rchild=NULL; return Node; } //获取结点root所在子树的当前高度 int getHeight(node* root) { if(root==NULL) return 0; return root->height; } //计算root结点的平衡因子 int getBalanceFactor(node* root) { return getHeight(root->lchild)-getHeight(root->rchild); } //更新结点高度 void updateHeight(node* root) { root->height=max(getHeight(root->lchild),getHeight(root->rchild))+1; } //查找操作 void search1(node* root,int x,vector<int> &vec) { if(root==NULL){ vec.push_back(0); return; } if(x==root->data){ vec.push_back(1); }else if(x<root->data){ search1(root->lchild,x,vec); }else{ search1(root->rchild,x,vec); } } //左旋 void L(node* &root) { node* temp=root->rchild; root->rchild=temp->lchild; temp->lchild=root; updateHeight(root); updateHeight(temp); root=temp; } //右旋 void R(node* &root) { node* temp=root->lchild; root->lchild=temp->rchild; temp->rchild=root; updateHeight(root); updateHeight(temp); root=temp; } //AVL树插入代码 void insert1(node* &root,int v) { if(root==NULL){ root=newNode(v); //到达空结点 return; } if(v<root->data){ insert1(root->lchild,v); updateHeight(root); //更新树高 if(getBalanceFactor(root)==2){ if(getBalanceFactor(root->lchild)==1){ R(root); //进行右旋 }else if(getBalanceFactor(root->lchild)==-1){ L(root->lchild); R(root); } } }else{ insert1(root->rchild,v); updateHeight(root); if(getBalanceFactor(root)==-2){ if(getBalanceFactor(root->rchild)==-1){ L(root); }else if(getBalanceFactor(root->rchild)==1){ R(root->rchild); L(root); } } } } //AVL树建立 node* Create(int data[],int n) { node* root=NULL; for(int i=0;i<n;i++) { insert1(root,data[i]); } return root; } int main() { int n,k,id; while(cin>>n>>k) { node* root=new node; data[maxn]={0}; for(int i=0;i<n;i++) cin>>data[i]; root=Create(data,n); for(int i=0;i<k;i++){ cin>>id; search1(root,id,vec); } for(int i=0;i<vec.size();i++) { if(i!=vec.size()-1) cout<<vec[i]<<" "; else cout<<vec[i]<<endl; } vec.clear(); } return 0; }
/*
8 7
1 3 5 7 8 9 10 15
9 12 3 7 16 8 2
1 0 1 1 0 1 0
*/