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  • BZOJ 4873 寿司餐厅(最大权闭合图 网络流)

    寿司餐厅

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    题目描述

    Kiana 最近喜欢到一家非常美味的寿司餐厅用餐。
    每天晚上,这家餐厅都会按顺序提供n种寿司,第i种寿司有一个代号 ai和美味度 di,i,不同种类的寿司有可能使用相同的代号。每种寿司的份数都是无限的,Kiana 也可以无限次取寿司来吃,但每种寿司每次只能取一份,且每次取走的寿司必须是按餐厅提供寿司的顺序连续的一段,即 Kiana 可以一次取走第 1,2种寿司各一份,也可以一次取走第 2,3种寿司各一份,但不可以一次取走第 1,3种寿司。
    由于餐厅提供的寿司种类繁多,而不同种类的寿司之间相互会有影响:三文鱼寿司和鱿鱼寿司一起吃或许会很棒,但和水果寿司一起吃就可能会肚子痛。因此,Kiana 定义了一个综合美味度 di,j (i<j),表示在一次取的寿司中,如果包含了餐厅提供的从第i份到第j份的所有寿司,吃掉这次取的所有寿司后将获得的额外美味度。由于取寿司需要花费一些时间,所以我们认为分两次取来的寿司之间相互不会影响。注意在吃一次取的寿司时,不止一个综合美味度会被累加,比如若 Kiana 一次取走了第 1,2,3种寿司各一份,除了 d1,3以外,d1,2,d2,3也会被累加进总美味度中。
    神奇的是,Kiana 的美食评判标准是有记忆性的,无论是单种寿司的美味度,还是多种寿司组合起来的综合美味度,在计入 Kiana 的总美味度时都只会被累加一次。比如,若 Kiana 某一次取走了第 1,2种寿司各一份,另一次取走了第 2,3种寿司各一份,那么这两次取寿司的总美味度为 d1,1+d2,2+d3,3+d1,2+d2,3,其中 d2,2只会计算一次。
    奇怪的是,这家寿司餐厅的收费标准很不同寻常。具体来说,如果 Kiana 一共吃过了 c (c>0)种代号为x的寿司,则她需要为这些寿司付出 mx2+cx元钱,其中m是餐厅给出的一个常数。
    现在 Kiana 想知道,在这家餐厅吃寿司,自己能获得的总美味度(包括所有吃掉的单种寿司的美味度和所有被累加的综合美味度)减去花费的总钱数的最大值是多少。由于她不会算,所以希望由你告诉她。

    输入

    第一行包含两个正整数 n,m,分别表示这家餐厅提供的寿司总数和计算寿司价格中使用的常数。
    第二行包含n个正整数,其中第k个数 ak表示第k份寿司的代号。
    接下来n行,第i行包含 n−i+1个整数,其中第j个数 di,i+j−1表示吃掉寿司能获得的相应的美味度,具体含义见问题描述。

    输出

    输出共一行包含一个正整数,表示 Kiana 能获得的总美味度减去花费的总钱数的最大值。

    样例输入

    3 1
    2 3 2
    5 -10 15
    -10 15
    15
    

    样例输出

    12
    

    提示

    对于所有数据,保证 −500≤di,j≤500。

    【题意】有n种寿司,每一种有无数个,每种寿司编号在有个编号,编号可能相同,现在吃寿司,你可以按照1~k在其中取一段连续的顺序吃,有一个额外美味 度,单独吃也有单独的美味度,每一种编号x的寿司吃完耗费m*x*x,问美味度-耗费最大值。

    【分析】最大权闭合子图,指的是对于一张有向图,每个顶点都有一个权值,可正可负。有u->v,当你选择了u就必须选择v,现在要选择一些顶点,使得所得的权值最大。做法就是网络流,源点向所有正权值连边,边容量为顶点权值,所有负权值向汇点连边,边容量为权值的绝对值,,原图中边的容量为inf。跑网络流求最小割,然后答案为正权值之和-最小割。

    对于出题人的数据,我们可以换个姿势来看:

    5 -10 15

       -10 15

             15

    可以看出每次选择都是一个直角三角形。

    那么对于每个点(i,j) (j>i),如果它被选择,那么点(i,j-1)和点(i+1,j)也一定被选择,以此类推。

    根据这个来建一个点权图。

    对于点(i,j) (j>i),点权为d[i][j],并向点(i,j-1)和点(i+1,j)连边。

    对于点(i,i),点权为d[i][i]-a[i],即收益减去费用,并向编号a[i]连边。

    对于编号p,点权为-m*p*p。

    所求为最大权闭合图,所以转化为网络流最小割来求。

    具体建图方法不用像上面说的先建点权图,直接建立网络图即可

    #include <bits/stdc++.h>
    #define inf 0x3f3f3f3f
    #define met(a,b) memset(a,b,sizeof a)
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define inf 0x3f3f3f3f
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int N = 1e5+50;
    const int mod = 1e9+7;
    const double pi= acos(-1.0);
    typedef pair<int,int>pii;
    int n,m,k,f;
    int a[150],d[150][150],An=1000;
    int num[150][150],cnt,ans;
    struct Edge{
        int from,to,cap,flow;
        Edge(int u,int v,int c,int f):from(u),to(v),cap(c),flow(f){}
    };
    struct Dinic{
        int s,t;
        vector<Edge>edges;
        vector<int> G[N];
        bool vis[N];
        int d[N];
        int cur[N];
        void init(){
           for (int i=0;i<=n+1;i++)
               G[i].clear();
           edges.clear();
        }
        void AddEdge(int from,int to,int cap){
            edges.push_back(Edge(from,to,cap,0));
            edges.push_back(Edge(to,from,0,0));
            int mm=edges.size();
            G[from].push_back(mm-2);
            G[to].push_back(mm-1);
        }
        bool BFS(){
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            queue<int>q;
            q.push(s);
            d[s]=0;
            vis[s]=1;
            while (!q.empty()){
                int x = q.front();q.pop();
                for (int i = 0;i<G[x].size();i++){
                    Edge &e = edges[G[x][i]];
                    if (!vis[e.to] && e.cap > e.flow){
                        vis[e.to]=1;
                        d[e.to] = d[x]+1;
                        q.push(e.to);
                    }
                }
            }
            return vis[t];
        }
     
        int DFS(int x,int a){
            if (x==t || a==0)
                return a;
            int flow = 0,f;
            for(int &i=cur[x];i<G[x].size();i++){
                Edge &e = edges[G[x][i]];
                if (d[x]+1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){
                    e.flow+=f;
                    edges[G[x][i]^1].flow-=f;
                    flow+=f;
                    a-=f;
                    if (a==0)
                        break;
                }
            }
            return flow;
        }
     
        int Maxflow(int s,int t){
            this->s=s;
            this->t=t;
            int flow = 0;
            while (BFS()){
                memset(cur,0,sizeof(cur));
                flow+=DFS(s,inf);
            }
            return flow;
        }
    }dc;
    int main(){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        int S=0,T=1e5;
        dc.init();
        for(int i=1;i<=An;i++){
            dc.AddEdge(i,T,m*i*i);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=i;j<=n;j++){
                scanf("%d",&d[i][j]);
                num[i][j]=An+(++cnt);
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=i;j<=n;j++){
                if(i==j){
                    d[i][j]-=a[i];
                    dc.AddEdge(num[i][i],a[i],inf);
                }
                else{
                    dc.AddEdge(num[i][j],num[i][j-1],inf);
                    dc.AddEdge(num[i][j],num[i+1][j],inf);
                }
                if(d[i][j]<0){
                    dc.AddEdge(num[i][j],T,-d[i][j]);
                }
                else {
                    dc.AddEdge(S,num[i][j],d[i][j]);
                    ans+=d[i][j];
                }
            }
        }
        printf("%d
    ",ans-dc.Maxflow(S,T));
        return 0;
    }
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