蒟蒻的 线性基 刷题记录

HDU3949 XOR

• 大意：给出n个数，求这些数通过xor能得到的第k小的值
• 做法：先高斯消元，完了之后回代，然后第k小，k用二进制表示，是1的那位就选，是0 的就不选
• 注意：给出的n个数能不能xor出0？因为题目是不允许不选，所以要考虑0的情况。
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 10010
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  ll a[nmax],b[70],k[70]; //k[i] 第i小的数
  int n,q;
  
  int main(){
      int T;
      cin>>T;
      for (int cas=1; cas<=T; cas++) {
          memset(b,0,sizeof(b));
          memset(k,0,sizeof(k));
          printf("Case #%d:
  ",cas);
          scanf("%d",&n);
          for (int i=0; i<n; i++) {
              scanf("%lld",&a[i]);
              //求线性基
              for (int j=61; j>=0; j--) {
                  if(a[i]&(1LL<<j)){
                      if(b[j]) a[i]^=b[j];
                      else { b[j]=a[i]; break; }
                  }
              }
          }
          //往上回代，顺便统计个数
          int cnt=0;
          for (int i=0; i<=61; i++) if(b[i]) {
                  k[cnt]=b[i];
                  cnt++;
                  for (int j=i+1; j<=61; j++) if(b[j]&(1LL<<i)) b[j]^=b[i];
          }
          ll mmax=(1LL<<cnt)-1;
          scanf("%d",&q);
          //cout<<"q= "<<q<<endl;
          ll inq;
          bool flag=false;//特别判断0
          if(cnt<n) flag=true;
          for (int j=0; j<q; j++) {
                 // cout<<"quq"<<endl;
              scanf("%lld",&inq);
              if(flag) inq--;  //也是判断0的内容
              if(inq>mmax) cout<<-1<<endl;
              else {
                  ll ans=0;
                  for (int i=0; (1LL<<i)<=inq; i++) if((1LL<<i)&inq) ans^=k[i];
                  printf("%lld
  ",ans);
              }
          }
      }
      return 0;
  }

  BZOJ2460 元素

• 做法：贪心，按magic值从大到小排序求线性基
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 1010
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  struct stone{
      ll num,mac;
      bool operator < (const stone a) const { return a.mac<mac; }
  }st[nmax];
  int n;
  ll b[70]={0};
  
  int main(){
      cin>>n;
      for (int i=0; i<n; i++) scanf("%lld%lld",&st[i].num,&st[i].mac);
      sort(st,st+n);
      //for (int i=0; i<n; i++) cout<<st[i].num<<' '<<st[i].mac<<endl;
      ll ans=0;
      for (int i=0; i<n; i++) for (int j=63; j>=0; j--) if(st[i].num&(1LL<<j)){
          if(b[j]) st[i].num^=b[j];
          else{
              b[j]=st[i].num;
              ans+=st[i].mac;
              break;
          }
      }
      printf("%lld
  ",ans);
      return 0;
  }

 BZOJ2115 XOR

• 做法：dfs先把图拉成一棵树，然后看有没有倒回去的边（类似tarjan那种）处理出所有的环的xor值，然后和1~ndfs树上那个值做线性基求出ans
• 注意：wa的地方有两点，一个是处理环的时候,是不是环要看是不是dfs中“指回去”，用一个数组记录dfs的顺序。另一个是求最大xor值时。1~n那条路不要加到线性基里去，因为那个数是必须要取的，加到线性基里后面求最大值的时候可能就不取它了。
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 50010
  #define mmax 100010
  
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  int head[nmax]={0},d[nmax]={0};  //被vis到的顺序
  ll a[nmax+mmax],tmp[nmax],b[70]={0};
  int n,m,idx=0,idxa=0;  //idza是记录环的数量
  struct edge{
      int v,ne;
      ll w;
  }e[mmax*2];
  
  inline void addedge(int u,int v,ll w){
      idx++;
      e[idx].v=v;
      e[idx].w=w;
      e[idx].ne=head[u];
      head[u]=idx;
  }
  
  void build(){
      cin>>n>>m;
      int a,b;   ll c;
      for (int i=0; i<m; i++) {
          scanf("%d%d%lld",&a,&b,&c);
          addedge(a,b,c);
          addedge(b,a,c);
      }
  }
  
  void dfs(int u,int cnt){
      d[u]=cnt;
      for (int i=head[u]; i; i=e[i].ne){
          int v=e[i].v;  ll w=e[i].w;
          if(d[v]>d[u]) continue;
          if(d[v]){
              ll x=tmp[v]^tmp[u]^w;  //这个环的xor值
              if(x) a[++idxa]=x;  //如果是0就舍弃
          }else {
              tmp[v]=tmp[u]^w;  //在dfs(u)之前，u的tmp值已经算出
              dfs(v,cnt+1);
          }
      }
  }
  
  void xxj(){
      for (int i=1; i<=idxa; i++) for (int j=63; j>=0; j--) if((1LL<<j)&a[i]){
          if(b[j]) a[i]^=b[j];
          else { b[j]=a[i]; break; }
      }
      ll ans=tmp[n];
      for (int i=63; i>=0; i--) ans=max(ans,ans^b[i]);
      printf("%lld
  ",ans);
  }
  
  int main(){
      build();
      dfs(1,1);
      xxj();
      return 0;
  }

 

BZOJ2844: albus就是要第一个出场

• 对于给定的大小为N数列a，它的子集有2^n个，每个子集可以异或的所有的数可以用线性基表示
• 设线性基有b个，然后不在线性基里的数有x=n-b个
• 可以知道通过a任意异或出的所有数是这样一个情况：一共有2^b个不同的数，每个数出现的次数相同为2^x
• 证明：把a分成两份，线性基的一份和不在线性基的一份，然后在不在线性基的那一份里随便取一种排列并把它们异或，设结果为v，v用线性基那一份也可以造出来，然后v^v=0，然后再用线性基造一遍所有的数，这些数就又全部出现了一次，这样搞可以让这些数全部出现2^x次
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 100010
  #define mod 10086
   
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  ll a[nmax],b[60];
  ll n,x;
   
  ll fastpow(ll x){
      ll ta=2,ans=1;
      for (ll i=1; i<=x; i<<=1){
          if(x&i) ans=(ans*ta)%mod;
          ta=(ta*ta)%mod;
      }
      return ans;
  }
   
  int main(){
      scanf("%lld",&n);
      for (ll i=0; i<n; i++) {
          scanf("%lld",&a[i]);
          for (ll j=40; j>=0; j--){
              if( (1LL<<j)&a[i] )
                  if(b[j]) a[i]^=b[j];
                  else { b[j]=a[i]; break; }
          }
      }
      scanf("%lld",&x);
      int k=0,cnt=0;
      for (ll i=0; i<=40; i++) {
          if(b[i]) {
        if( x & (1<<i) ) k+=(1LL<<cnt);//注意这里加的不是b[i]。。
              cnt++;
          }
      }
      cout<<k*fastpow(n-cnt)%mod+1<<endl;
      return 0;
  }