BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数

• 双倍经验：vijos1889天真的因数分解
• 思考如何计算1~x内的非完全平方数
• 容斥原理：1~x内的非完全平方数 = 所有的数 - 所有有一个质数平方因子的数（4,9,25……的倍数）+所有有两个质数平方因子的数（36,100,……的倍数）-……
• 然后枚举所有 i * i < x ，这些i是所有可能的充当平方因子的质数，然后发现容斥原理里的系数正好等于 mu[i] ，所以每个算其对答案的贡献就是   mu[ i ] * x / ( i* i )
• 这里的mu[i]是莫比乌斯函数
• 所以预处理莫比乌斯函数，就可以在根号x下解决了
• 然后二分答案寻找第k个非完全平方数
• 注意二分答案的时候不是直接取f(mid)==k的那个mid，因为mid本身不一定是非完全平方数
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 2000050
   
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  ll x;
  int table[nmax]={0},pri[nmax],mu[nmax];
  int cp=-1;
   
  void getmu(){  //算莫比乌斯函数
      for (int i=2; i<nmax; i++) {
          if( !table[i] ) { pri[++cp]=i; mu[i]=-1; }
          for (int j=0; j<=cp; j++) {
              ll t=pri[j]*i;
              if(t>=nmax) break;
              table[t]=1;
              if(i%pri[j]==0) { mu[t]=0; break;}
              mu[t]=mu[i]*(-1);
          }
      }
      mu[1]=1;
  }
   
  ll f(ll a){  //算1~a之间的非完全平方数的数量（包括a）
      ll ans=0;
      for (ll i=1; i*i<=a; i++) ans+=mu[i]*a/(i*i);
      return ans;
  }
   
  int main(){
      getmu();
      int t;
      cin>>t;
      while(t--){
          scanf("%lld",&x);
          //二分答案(这里mid的那个值也要是非完全平方数才行)
          ll l=x,r=3*x,mid,ans;
          while(l<r) {
              mid=(l+r)>>1;
              ll t=f(mid);
              if( t>=x ) { ans=mid; r=mid;}
              else l=mid+1;
              if(l==r) ans=l;
          }
          cout<<ans<<endl;
      }
      return 0;
  }