研究无穷级数关心的问题：到底能不能收敛成一个数？本质是研究数列的收敛性
常数项级数
- 本质是数列，如研究{xn}的极限存在问题等于研究sum{xn-xn-1}这个级数的收敛性问题
- 满足线性运算法则：一堆收敛的经过线性运算之后仍然收敛
- 对于收敛级数，存在结合律（将级数任意加括号后形成的新级数仍收敛于原级数之和）（证明提示：单调数列收敛，其子数列收敛）
必要条件：lim un -> 0
- 第一眼看这个，如果这个都不满足，那一定不收敛。
- 就是说正向级数如果是单增的那一定就不收敛（要么极限不存在要么不为0）
重要级数
- egin{equation*} sum ^{infty }_{n=1} frac{1}{n^{p}} end{equation*}
- p=1的时候是
egin{gather*} sum ^{infty }_{n=1}frac{1}{ n} end{gather*}，lnx的导数就是1/x，所以这个级数是类似于ln(n)的，而 egin{gather*}lim _{x ightarrow infty } ln x=infty end{gather*} ,所以可以知道此时该级数不是一个数。
然后p<1的时候它更大所以肯定也不是一个数
p>1时收敛（待填坑）
- egin{gather*} sum ^{infty }_{n=0} a_{n} q^{n} end{gather*}
等比数列，q<1时收敛
正项级数判断收敛
比较审敛
- 大的收，小的一定收 证明：单调有界定理
- 小的发散，大的一定发散 证明：如果大的收敛，由上小的收敛，矛盾
比值审敛
egin{equation*} lim _{n ightarrow infty } frac{a_{n}}{a_{n-1}} < 1 end{equation*}- 用等比数列证，总能有一个公比＞上面的极限，然后就相当于每次乘以那个公比，然后那个公比的级数都收敛，这个比它小的肯定也收敛
开根
egin{equation*} lim _{n ightarrow infty } sqrt[n]{a_{n}} < 1 end{equation*}- 还是用等比数列，乘方n了之后相当于是那个小于一的数的n次方，用一个比它极限大的公比q可证
交错级数判断收敛
egin{gather*} sum ^{infty }_{n=1} ( -1)^{n} a_{n} （其中a_{n} >0）\ 收敛条件：1.lim _{n ightarrow infty } a_{n} =0 2. a_{n} 单调不增\ 证明：（假设第一项为正）前一项减去后一项为正，整个正项级数，然后改一下\ 括号位置，可知有上界a_{1} ,所以收敛。\ end{gather*}
一般级数判断收敛
绝对值收敛，绝对收敛
egin{gather*}
如果 sum |a_{n} | 收敛，那sum a_{n} +|a_{n} |收敛（比前面的小），\
那sum a_{n} +|a_{n} |-a_{n} 收敛（线性运算法则）\
end{gather*}
绝对值不收敛但它自己收敛，条件收敛
比如说前面的交错级数，单调不增的正项级数不一定收敛，但是作为交错级数就收敛了