定义
- 邻域：是开集
- 区域：也是开集；闭区域才是闭集
- 区域单连通和多连通：取决于中间有没有洞，无就是单连通。通常把多联通的转化为单连通来解决问题。
- 内点：某个点存在邻域全在某区域内。同理还有 外点，边界点
- 简单曲线（若当曲线）：中间没有任意两点重叠的曲线。
- 简单闭曲线（若当闭曲线）：简单曲线首尾相接，，，拓扑一下是个圈
- 复变函数$w=f(z)$ 实质上是两个二元实变函数$ u(x,y),v(x,y) $一个复变函数对应两个二元实变函数，两个二元实变函数也对应着一个复变函数。
可导与解析
- 复变函数导数和微分的概念沿用实变函数
- $f(z)=u(x,y)+v(x,y)z$ ，$f(z)$解析➡$u(x,y),v(x,y)$可导，反之不成立（反例超多）。所以看起来形式很简单的复变函数，它可能是不解析的。处处不解析的复变函数很多，但是处处不可导的实变函数很少遇到。
- 解析：在某点的邻域内处处可导则解析，（那样的话在这个邻域内都是解析的）。
- 奇点：在某个点可导，但是不解析
- 有理函数解析
- 某些函数解析，他们的四则运算解析
在区域D解析的充要条件
- $f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ①$u,v$在区域D上可微②$frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y} $ 且 $frac{partial u}{partial y} =- frac{partial v}{partial x}$
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- 一般二元函数的导数：$frac{ u(x+Delta x,y+Delta y)-u(x,y) } { Delta x^2+Delta y^2 }$
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- 关于第二个的证明：$ frac { f(z+Delta z)-f(z) } { Delta z } = frac { u(x+Delta x,y+Delta y)+v(x+Delta x,y+Delta y)i-(u(x,y)+v(x,y)i) } { Delta x +Delta yi } $光看实部或者光看虚部
积分
定义
- 在曲线c上积分：是否有积分取决于函数是否在曲线上连续，（注意在曲线上连续 ≠ 在该点连续，函数可能处处不连续但是在曲线C连续，因为在曲线c上连续是指函数沿着该曲线逼近一个点时函数值逼近该点函数值，而在该点连续时从任何方向逼近该点极限需要相等且等于函数值）
- 定义同普通积分定义，分成很多小段然后小段值乘以小段函数值
- 形式上与第二类曲线积分很相似 $(u+vi)*(dx+dyi)=udx-vdy+(vdx+udy)i$
- 如果$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$ ，则积分是 $ int udx-vdy+i int vdx+udy $
柯西积分定理
柯西-古萨定理
- 函数$w=f(z)$在闭区域D上解析，则在该区域上任何一条闭合曲线积分为0（严格证明是个坑，以后添上）
复合闭路定理
- 遇到多联通区域时候，一条曲线里面包了很多小曲线，它们中间的区域解析，则$Gamma$为所有的曲线，$Gamma$这个的积分是0，可以通过中间画线来证明