HDU 3861 The King’s Problem（tarjan连通图与二分图最小路径覆盖）

　　题意：给我们一个图，问我们最少能把这个图分成几部分，使得每部分内的任意两点都能至少保证单向连通。

　　思路：使用tarjan算法求强连通分量然后进行缩点，形成一个新图，易知新图中的每个点内部的内部点都能保证双向连通，而新图中的点都是单向无环的，这个时候题目中要求的划分部分的条件，其实就是求最短路径覆盖（需要好好想一想），最短路径覆盖 = 结点个数 - 最大匹配值。

　　这个题我当时把j写成了i，就这么一个小地方，找了快20分钟，还死活发现不了。。真是晕死了～

　　最后我想总结一下这个题：

　　这个题很巧妙的把割点和二分图巧妙的结合了在一起，最后变成了最小路径覆盖问题，我就把我对最短路径覆盖的理解说一下吧：

　　最短路径覆盖，针对有向图而言，是找到最少的路径使覆盖所有的点，每个点的入度与出度最多是1，他的计算方法是 最短路径覆盖 = 结点个数 - 最大匹配值。

　　证明： 如果有n个点，0个匹配，那我们就有n条路径（一个单独的点也要被看作一条路径），当我们找到一个u和v的匹配的时候，我们需要的路径就少一，以此类推，就证明出了以上结论。

　　我在观察匹配算法的深搜树的时候发现了，我并没有去按照分两边集合的方式去考虑，而是按照父亲优先让出的原则去思考的，这个想法基于每个点只能最多有一个入度和出度，而且在深搜的过程中，每次直接匹配或迭代匹配都会使结果加1，但是迭代匹配有可能进行进行多次，但结果只加了1，其实是后来在的遍历中计算了结果，这也是为什么vis数组必须清空的原因之一。在匹配过程中我们并不关心匹配的方案，只关心匹配的最大数值，同一个值有可能对应多条匹配方案是当然的，但在二分图的题目中，很少有要求输出方案的，有的话也是随便输出一条，那直接输出我们随机匹配的match就好了～（仅代表个人看法）。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<stack>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 5050
struct EDGE
{
    int to,nxt;
} edge[maxn*20];
EDGE newmap[maxn*20];
int head[maxn],low[maxn],dfn[maxn],id[maxn],newhead[maxn];
int vis[maxn],match[maxn];
int tot,sum,tot1;
stack <int> s;
void init()
{
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(id,0,sizeof(id));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(newhead,-1,sizeof(newhead));
    tot = 0,sum = 0;
    tot1 = 0;
    while(!s.empty()) s.pop();
}
void add_edge(int x,int y)
{
    newmap[tot1].to = y;
    newmap[tot1].nxt = newhead[x];
    newhead[x] = tot1++;
}
void tarjan(int u)
{
    s.push(u);
    dfn[u] = low[u] = ++tot;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].nxt)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
        }
        else if(!id[v])
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(low[u] == dfn[u])
    {
        sum++;
        while(!s.empty())
        {
            int num = s.top();
            s.pop();
            id[num] = sum;
            if(num == u) break;
        }
    }
    return;
}
bool Find(int u)
{
    for(int i = newhead[u]; i != -1;i = newmap[i].nxt)
    {
        int v = newmap[i].to;
        if(!vis[v])
        {
            vis[v] = 1;
            if(match[v] == -1 || Find(match[v]))
            {
                match[v] = u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
int erfen()
{
   int ans = 0;
   memset(match,-1,sizeof(match));
   for(int i = 1;i <= sum;i++)
   {
       for(int j = 1;j <= sum;j++) vis[j] = 0;
       if(Find(i)) ans++;
   }
   return ans;
}
int main()
{
    int t,n,m,x,y;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        init();
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            edge[i].to = y;
            edge[i].nxt = head[x];
            head[x] = i;
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            if(!dfn[i])
            tarjan(i);
        }
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            int u = i;
            for(int j = head[u];j != -1;j = edge[j].nxt)
            {
                int v = edge[j].to;
                if(id[u] != id[v])
                {
                    add_edge(id[u],id[v]);
                }
            }
        }
        int ans = erfen();
        printf("%d
",sum-ans);
    }
    return 0;
}