新手讲排序：堆排序 和 认识二叉堆

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树

 二叉堆满足的二个特性：

1.父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值

2.每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或者是最小堆）

当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆，总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆

堆的存储：

     堆的存储一般是用数组来存储，根据完全二叉树的存储结构，一个节点的父节点为（i-1）/2,一个节点的左孩子为2*i+1，右孩子为2*i+2

                                    

堆的建立插入和删除：

堆得插入：

   每次插入都是将新数据放在数组的最后，可以发现从这个新数据的父节点到根节点必然为一个有序的数列。

void minHeapAddNumber(int *a,int n,int nNum){
    //在n位置上插入nNum这个数字
    a[n]=nNum;
    //每一次找到a[n]的父节点，如果a[n]的父节点a[(n-1)/2]小于a[n]，则将他们交换，继续往上找

    for(int j=(n-1)/2;(j>=0&&n!=0)&&a[j]<a[n];n=j,j=(n-1)/2){
        swap(a[j],a[n]);
    }
}

堆的删除：

//节点从i开始，节点总数n 
//删除的时候每次删除最上面那一个节点（根节点）
//然后将最后一个元素放在根节点上
//然后根节点一次与他的左右节点进行比较，找出一个最小的，进行交换，
//知道到最后一个节点或者中间 没有元素可以交换 
void minHeapFixDown(int a[],int i,int n){
	int j,temp;
	temp=a[i];
	j=2*i+1;
	while(j<n){
		if(j+1<n&&a[j+1]<a[j]){
			j++;  //右孩子比较小 
		}
		if(a[j]>=temp) break;
		//这里很奇妙，将较小的孩子节点往上移动，
		//因为上面是和temp进行的比较，所以a[i]=temp这一步可以省略
		//只在最后出现一次 
		a[i]=a[j];
		i=j;
		j=2*i+1;
	}
	a[i]=temp;
}
void MinHeapDeleteNumber(int *a,int n){
	swap(a[0],a[n-1]); //这里已经交换过了
	MinHeapFixDown(a,0,n-1);  //所以元素个数只剩下了n-1个 
}

　

堆化数组：

    有了堆的插入和删除函数，在考虑将一个数据进行堆化操作。

例子：

可以看出堆化数据的时候，从最后一个非叶子节点开始，那也就是2*i+1=n-1(索引)，或者2*i+2=n-1，所以可以得到 i=n/2-1;即为最后一个非叶子结点

可以得到代码：

//建立最小堆
void MakeMinHeap(int *a,int n){
    for(int i=n/2-1;i>=0;i--){
        MinHeapFixDown(a,i,n);
        //也就是把第i个节点从上面慢慢移到正确的位置
        //必须是从上到下排的，这样下面基本是有序的 
    }
} 

以上就是堆的基本操作。下面来讲堆排序

堆排序：

首先可以得到堆建好之后，第0个元素肯定是最小的，取出这个数据在执行下堆的删除，这样第0个元素又是最小的，重复上述步骤，知道堆中只剩一个元素直接取出。

由于堆是用数组模拟的，故堆化后，第一次将A[0] 与 A[n-1]交换，再对A[0,n-2]进行恢复，重复直到A[0]与A[1]交换，由于每次都是将最小的数据并入到后面的区间，所以操作完成后整个数组就有序了。所以使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数据，可以使用最大堆

//堆排序
void MinHeapSortToDescendArray(int *a,int n){
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        swap(a[0],a[i]);
        MinHeapFixDown(a,0,i);
    }
} 

堆排序的时间复杂度：

由于每次重新恢复堆的时间复杂度是O(logN),共N-1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N/2次向下调整，每一次时间复杂度也是O(logN);

所以堆排序的时间复杂度是O(NlogN);