经典的导弹拦截问题——动态规划和一点形式化证明

这是一道动态规划的经典问题，很多人的博客有写过，但是很多地方只有前半部分，后半部分题目有一些需要认真想想的点我也没见到令我满意的证明，不然我也不会再去写一次来说这个题目的。

问题描述
　　某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹  拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的  导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

　　输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入格式
　　一行，为导弹依次飞来的高度
输出格式
　　两行，分别是最多能拦截的导弹数与要拦截所有导弹最少要配备的系统数
样例输入
389  207  155  300  299  170  158  65
样例输出
6
2

————————PART I————————

求数组的非增序列，动态规划来做。先斟酌一个选择，子结构的划分依据<采用当前点，不采用当前点>的背包思想，还是依据<必有当前点+后面每种可以的序列>？很容易明白第二种方法是好的，即是结果不是简单读d[0]，也只需要一趟遍历找最大就可以得到结果。第一种其实没什么吸引力。

首次得到最长序列长度后打印结果这些都OK。

————————PART II————————

之后需要多次DP，并用结果来削减数组元素直至空，我用的是vector，所以获得要删除的元素位置后就可以简单的erase了。在动态规划时我维护一个parent数组记录每条路径，所以只要找到入口也就好办了。

但是一直有一个疑问，当有两条长度相等的序列可供erase时，是不是会对下一趟遍历产生影响？这里需要证明一下才能得到算法的正确性。

当前数组为A=<X1,X2,...,Xn>，DP获得两条路径A1=<Xa,...>，A2=<Xb,...>长度相同，A1和A2在最大区间[i, j]内元素数相同且没有相同元素(*)。假设之后对A-A1某一次动态规划获得的子序列长度小于来自A-A2的，所以这某一次DP后的序列中，(A-A1∩[i, j])∩(A-A2∩[i, j])=Ø，且Size(A-A1∩[i, j])<Size(A-A2∩[i, j])，那么在起始序列A中，[i, j]区间内，Size(A1∩[i, j])<Size(A2∩[i, j])，与假设*不符，所以之后某一次DP中，不会产生有差异的结果。所以算法不区分最长DP结果（们）的路径是安全的。

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

int dp(vector<int> &v)
{
    int n = v.size();
    vector<int> d(n, 1);
    vector<int> p(n, -1);    //parent
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i)
    {
        for (int j = i + 1; j < n; ++j)
        {
            //不分开讨论要不要采取这个数必须采取
            if (v[i] >= v[j] && d[i] < d[j] + 1)
            {
                d[i] = d[j] + 1;
                p[i] = j;
            }
        }
    }
    int mx = -1;
    int pos = 0;
    for (int i = pos; i < n; ++i)
    {
        if (d[i] > mx)
        {
            mx = d[i];
            pos = i;
        }
    }
    //整理数组
    vector<int> del;
    int i = pos;
    while (p[i] != -1)
    {
        del.insert(del.begin(), i);
        i = p[i];
    }
    del.insert(del.begin(), i);
    for (i = 0; i < del.size(); ++i)
    {
        v.erase(v.begin() + del[i]);
    }
    return mx;
}
int main()
{
    vector<int> v;
    int h;
    while (cin >> h) v.push_back(h);
    int i = 1;
    for (;; ++i)
    {
        int ans = dp(v);
        if (i == 1) cout << ans << endl;
        if (v.size() == 0) break;
    }
    cout << i << endl;
//    system("pause");
    return 0;
}