解决异方差问题--加权最小二乘法

异方差问题　

　　Ordinary Least Squares (OLS) 需要四个 - -有些人说五或六个 - 假设要满足，但建模时我们经常会遇到异方差（Heteroskedasticity）问题，

那是因为，很多数据都表现出这种“异方差性”。我们通常可以直观地解释原因： 

• 随着年龄的增长，净值往往会出现分歧
• 随着公司规模的扩大，收入趋于分化
• 或者，随着婴儿身高的增加，体重趋于分散

　　OLS的主要假设之一是数据的残差相同的，当不满足同方差的假设时，即存在异方差时候，我们需要另外的方法--加权最小二乘法（WLS）去处理。

WLS实例　

import numpy as np
import pandas as pd
import seaborn as sns
import statsmodels.api as sm

# generate random data
np.random.seed(24)
x = np.random.uniform(-5,5,25)
e= 2*np.random.randn(25)
y = 2*x+e

# alternate error as a function of x
e2 = e*(x+5)
y2 = 2*x+e2

sns.regplot(x,y);
sns.regplot(x,y2);

 　　可以看到，这些集合来自相同的实例函数，但是作为x的函数的增加的方差导致橙色模型拟合不同于蓝色的线。 在另一个随机抽取中，斜率可能低于蓝色，但一般会更加不稳定。

# add a strong outlier for high x
x_high = np.append(x,5)
y_high = np.append(y2,160)
# add a strong outlier for low x
x_low = np.append(x,-4)
y_low = np.append(y2,160)

sns.regplot(x_high,y_high);

sns.regplot(x_low,y_low);

　　上面的第一个附加模仿了一个常见的情况，即高方差区域（预期）会看到极端观察。 这将比WLS更多地影响OLS，因为WLS将减去方差及其“惩罚”。

　　计算样本权重，我们添加的错误随（x + 5）的变化而变化; 我们可以使用它来对值进行反向加权。

# calculate weights for sets with low and high outlier
sample_weights_low = [1/(x+5) for x in x_low]
sample_weights_high = [1/(x+5) for x in x_high]

# reshape for compatibility
X_low = x_low.reshape(-1, 1)
X_high = x_high.reshape(-1, 1)

# import and fit an OLS model, check coefficients
from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X_low, y_low)
# fit WLS using sample_weights
WLS = LinearRegression()
WLS.fit(X_low, y_low, sample_weight=sample_weights_low)
print(model.intercept_, model.coef_)
print('WLS')
print(WLS.intercept_, WLS.coef_)

　　需要注意的是，WLS中的斜率受到低异常值的影响。 低区域应该具有低可变性，因此异常值被放大到高于OLS的范围，推动斜率更负。 让我们看下面如何在WLS中抑制高异常值。　

model = LinearRegression()
model.fit(X_high, ymod)
WLS.fit(X_high, ymod, sample_weight=sample_weights_high)
print(model.intercept_, model.coef_)
print('WLS')
print(WLS.intercept_, WLS.coef_)

总结

　　这是WLS的一个基本介绍，在这个领域还有很多东西要探索。例如：在建模时始终寻求使用经验或先验信息。使用模型的残差 - 例如，如果var（εi）=σ2x_i* var（εi）=σ2x_i  那么我们可以决定使用w_i = 1 / x_i。

　　如果响应是n观察的平均值，则类似var（y_i）= var（ε_i）=σ2/ n_i * var（y_i）= var（ε_i）=σ2/ n_i，那么我们可以决定使用w_i = n_i。
有时我们知道异方差的类型。在这种情况下，我们可能决定使用权重与测量误差的方差成反比。