树和二叉树

树和二叉树

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目录

• 树和二叉树
  • 一、树
    • 1、树的定义
    • 2、树的概念
      • 2.1 树的概念
      • 2.2 以人际关系的角度理解结点问题
      • 2.3 有序树的概念
      • 2.4 树的特点
    • 3、二叉树
      • 3.1 二叉树的概念
      • 3.2 斜树
      • 3.3 满二叉树
      • 3.4 完全二叉树 complete Binary Tree
      • 3.5二叉树性质
      • 3.6 完全二叉树性质

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一、树

1、树的定义

• 非线性结构，每个元素可以有多个前驱和后继
• 树是 n (n>=0)个元素的集合
  • n = 0 时，称为空树
  • 树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根 （root）
  • 树中除了根结点以外，其余元素只有一个前驱，可以有零个 或者 多个后继
• 递归定义：
  • 树 T 是 n (n>=0) 个元素的集合。n=0时，称为空树
  • 有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为 m 个互不相交的集合， T1, T2, T3... Tm, 而每一个集合都是树，称为 T 的子树 Subtree
  • 子树也有自己的根

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2、树的概念

2.1 树的概念

• 结点： 树中的数据元素
  • 例如： A, B,C,D,...I(所有元素都是结点)
• 结点的度degree：结点拥有的子树的数目称为度，记作 d(v)
  • 例如：
  • A的结点度：2
  • D的结点度：3
  • F的结点度：0
• 叶子结点：结点的度为 0，称为叶子结点 leaf，终端结点，末端结点
  • 例如： G, H , I ,J, F
• 分支结点：结点的度不为0，称为非终端结点或分支结点
  • 例如： A,B,C,D,E,F
• 分支：结点之间的关系
  • 例如： A-B
• 内部结点：除根结点外的分支结点，当然也不包括叶子结点
  • 例如： B,C,D,E,F
• 树的度： 是树内各结点的度的最大值，D结点度最大为3，数的度度就是 3

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2.2 以人际关系的角度理解结点问题

• 孩子（儿子child）结点: 节点的子树的根结点称为该结点的孩子
  • 例如: B 和 C 时结点 A 的孩子结点
• 双亲（父Parent）结点: 一个结点是它各子树的根节点的双亲
  • 例如: D 结点时 G、H、I 结点的双亲结点
• 兄弟（Sibling）结点：具有相同双亲结点的结点
  • B 和 C; E 和 F 都是兄弟结点
• 祖先结点：从根结点到该结点所经分支上所有的结点。
  • 例如: A、B、D 都是 G 结点的祖先结点
• 子孙结点: 结点的所有子树上的结点，都称为该结点的子孙。
  • 例如: B的子孙是 D、G、H、I
• 结点的层次 （Level）：根结点为第一层，根的孩子为第二层，以此类推，记作 L(v)
• 树的深度（高度 Depth）：树的层次的最大值
• 堂兄弟： 父节点在同一层的结点

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2.3 有序树的概念

• 有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交接
• 无序树：结点的子树是有序的，可以交换
• 路径：树中的 k 个结点 n1, n2, .... , nk，满足 ni 是 n(i+1) 的父结点，成为 n1 到 nk 的一条路径。就是一个条线串下来的，前一个都是后一个的父结点
• 路径长度 = 路径上的结点数 - 1
  • 也是分支数

2.4 树的特点

• 唯一的根（除空树以外）
• 子树不相交
• 除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有零个或多个后继
• 根结点没有父结点（前驱），叶子结点没有子节点 （后继）
• 如果 vi 是 vj 的双亲，则 L(vi) = L(vj) -1
  • 意思是，如果 vi 是 vj 的双亲，则 vj 的结点层次一定比 vi 小 l 层

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3、二叉树

3.1 二叉树的概念

• 每个结点最多 2 棵子树
  • （二叉树不存在度数大于 2 的结点）
• 它是有序树 ，左子树，右子树是顺序的，不能交换次序
• 即使某个结点只有一颗子树，也要确定它是左子树还是右子树
• 二叉树的五种基本形态：
  • 空二叉树
  • 只有一个根结点
  • 根结点只有左子树
  • 根结点只有右子树
  • 根结点有左子树和右子树

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3.2 斜树

• 右斜树，所有结点都只有右子树
• 左斜树，所有结点都只有左子树
  

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3.3 满二叉树

• 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，且所有叶子结点只存在在最下面一层
• 同样深度二叉树 中，满二叉树的结点最多
• k 为深度 （1<= k <=n）, 则结点总数为 （2**k）-1
• 如下图： 一个深度为 4 的15 个结点的满二叉树
  

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3.4 完全二叉树 complete Binary Tree

• 若二叉树的深度为 k ，二叉树的层数从 1 到 k-1 层的结点数都达到了最大个数，在 k 层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树

• 完全二叉树由满二叉树引出

• 满二叉树一定是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树

• k 为深度（1<= k <= n）,则结点总数最大值为 （2**k）-1，当达到最大值的时候就是满二叉树

• 举例说明:

  • 完全二叉树，最下一层的叶子结点，都连续的集中在左边

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3.5二叉树性质

• 性质1： 在二叉树的第 i 层上，至多有 2**(i-1) 个结点 （i>=1）

  • 指的是第 i 层的结点数

• 性质2： 深度为 k 的二叉树 ，至多有 (2**k)-1 个 结点 （K>=1)

  • 计算结点总数

• 性质3： 对于任何一棵二叉树 T，如果其终端结点（叶子结点） 数 n0，度数为 2 的结点为 n2，则有 n0=n2+1 ，换句话说： 叶子结点数 - 1 = 度数为2的结点数 (n0 - 1 = n2)

  • 推理过程：
    • 1、总结点数为 n = n0+n1+n2，
      • （分别表示：结点为 0的总数，结点为1的总数，结点为 2 的总数）
    • 2、树的分支数为： n-1 ，因此除了根结点外，其余结点都有一个分支 ,即n0+n1+n2-1
    • 3、因此分支数还等于 n0*0+n1*1+n2*2，n2是2条分支结点，所有乘以2； 2*n2 +n1
      • 第2,3表示两种不同的计算分支数的方式 2*n2+n1=n0+n1+n2-1 ==> n2=n0-1

• 其他性质：

  • 高度为 k 的二叉树，至少有 k 个结点。
  • 含有 n(n>=1) 的结点的二叉树，高度至多为 n ; 最小为 math.ceil(log2(n+1))
    • (斜叉树) ,为最大值
    • 最大值为: log以2为底, n+1的对数(开方)；计算结果向上取整;
      

3.6 完全二叉树性质

• 性质1:

  • 
  • int 为向下取整, 相当于math.floor(); math.ceil() 为向上取整;

• 性质2：

  • 如果有一个 n 个结点的 完全二叉树（深度为性质1），结点按照层序编号
  • 如图：
    • 如果 i=1，则结点i是二叉树的根；无双亲结点；
    • 如果 i>1，则父结点为int(i/2)向下取整。就是子节点的编号整除2，得到的就是父结点的编号
    • 父结点如果是 i ，则左孩子结点就是 2i，右孩子结点为 2i+1
  • 如果 2i>n，则结点 i 无左孩子，即结点 i 为叶子结点；否则其左孩子结点存在且编号为 2i4、
  • 如果 2i+1>n，则结点 i 无右孩子，并不能说明结点 i 没有左孩子;否则右孩子结点存在且编号为 2i+1