GAMES101系列笔记一 图形学概述与线性代数入门

概述+线性代数

为什么学习图形学？

Computer Graphics is AWESOME!

主要涉及内容：

• 光栅化
• 曲线和网格
• 光线追踪
• 动画与模拟

Differences between CG and CV:

线性代数回顾

向量（Vectors）

• 方向和长度

  模长：(||vec{a}||)

• 没有确定的起点

• 单位向量：模长为1

  单位化向量： (hat{a} = vec{a}/||vec{a}||)

• 向量求和：

  

• 列向量，转置，模长的计算方式

  (oldsymbol{A} = egin{pmatrix}x \ yend{pmatrix} quad oldsymbol{A}^T = egin{pmatrix}x&yend{pmatrix} quad ||oldsymbol{A}|| = sqrt{x^2+y^2})

• 点乘（Dot/scalar Product）

• 点乘定义：

  (vec{a} cdot vec{b} = ||vec{a}||\,||vec{b}||cos heta)

  (cos heta = frac{vec{a}cdotvec{b}}{||vec{a}||\,||vec{b}||})

• For unit vectors:

  (cos heta = hat{a}cdothat{b})

• 交换律、结合律、数乘

直角坐标系下,计算更为方便：

• 2D:

  (vec{a}cdotvec{b} = egin{pmatrix}x_a \y_aend{pmatrix}cdotegin{pmatrix}x_b \y_bend{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b.)

• 3D:

  (vec{a}cdotvec{b} = egin{pmatrix}x_a \y_a\z_aend{pmatrix}cdotegin{pmatrix}x_b \y_b\z_bend{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.)

• 投影:

$vec{b}_perp:vec{b}$ 在 $vec{a}$ 上的投影;

$vec{b}_perp = khat{a};$ 

$k = ||vec{b}_perp|| = ||vec{b}||cos	heta$

• 点乘可以告诉我们前和后的关系

• 叉乘（CrossVector product）

  • 两个向量相乘，得到一个与这两个向量都相等的向量；

    (vec{a} imesvec{b} = -vec{b} imesvec{a})

    (vec{a} imesvec{a} = vec{0})

    (||vec{a} imesvec{b}|| = ||vec{a}||\,||vec{b}||sinphi)

    方向由右手螺旋定则确定

    

  • 笛卡尔坐标系下的计算方法：

    (vec{a} imesvec{b} = egin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \ z_ax_b - x_az_b \ x_ay_b-y_ax_bend{pmatrix} = A*b = egin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \ z_a & 0 & -x_a \ -y_a & x_a & 0end{pmatrix})

    (A) 为 (vec{a}) 的对偶矩阵。

  • 叉乘在图形学中的作用

    判定左和右（一次叉乘），判断内和外（三次叉乘）

    

• 正交系

  • 三个单位向量

    $ ||vec{u}|| = ||vec{v}|| = ||vec{w}|| = 1$

  • 两两垂直

  (vec{u}cdotvec{v} = vec{v}cdotvec{w} = vec{u}cdotvec{w})

  • 右手系

    (vec{w} = vec{u} imesvec{v})

  • 任何一个向量可以由这三个向量表示

    (vec{p} = (vec{p}cdotvec{u})vec{u} + (vec{p}cdotvec{v})vec{v} + (vec{p}cdotvec{w})vec{w})

    因为(vec{u} vec{v} vec{w}) 都是单位向量，所以可以用 (vec{p}) 在其上的投影乘以其本身来得到一个维度的分量。

• 矩阵（Matrices）

  • 矩阵乘矩阵

    维度需满足：

    ((M imes N)(N imes P) = (M imes P))

    （3 2）（2 4）= （3 4）

  

  • 不符合交换律。但符合结合律和分配律。

    ((AB)C = A(BC))

    (A(B+C) = AB + AC)

    ((A+B)C = AC + BC)

  • 矩阵向量乘

    按 (y) 轴镜像

    (egin{pmatrix}-1 & 0 \ 0 & 1end{pmatrix}egin{pmatrix}x \ y end{pmatrix} = egin{pmatrix}-x \ yend{pmatrix})

  • 矩阵的转置

    ((AB)^T = B^TA^T)

  • 单位矩阵

    (I_{3 imes3} = egin{pmatrix}1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1end{pmatrix})

    (AA^{-1} = A^{-1}A = I;quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1})

  • 向量乘法的矩阵形式

    (vec{a}cdotvec{b} = vec{a}^Tvec{b})

    (vec{a} imesvec{b} = egin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \ z_ax_b - x_az_b \ x_ay_b-y_ax_bend{pmatrix} = A^*b = egin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \ z_a & 0 & -x_a \ -y_a & x_a & 0end{pmatrix})