[知识点] 6.4.2 欧几里得算法与扩欧算法

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前言

没什么好说的啦。

更新日志

Update - 20200728

重整了一下章节之间的逻辑，以及标题进行了替换。

子目录列表

1、欧几里得算法

2、扩欧算法

3、求解

4、应用

6.4.2 欧几里得算法与扩欧算法

1、欧几里得算法

欧几里得算法（Euclidean Algorithm），又称为辗转相除法，用于计算两个正整数 x, y 的最大公约数，公式为：

gcd(x, y) = gcd(y, x mod y)

代码：

int gcd(int x, int y) {
    return y ? gcd(y, x % y) : x; 
}

同时，你也可以选择使用 algorithm 库中的 __gcd(x, y) 函数。

2、扩欧算法

扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法的扩展版本，简称扩欧算法。已知正整数 a, b，求得最大公约数的同时可以求得 x, y（其中一个很可能为负数），使它们满足裴蜀定理：

ax + by = gcd(a, b)

3、扩欧求解

求解方法和欧几里得算法类似，在辗转相除的基础上增加两个数组，具体步骤见下：

i = 5时，s[i] = -9, t[i] = 47，分别为裴蜀定理中的 x 和 y；余数r[i]为最大公约数。

i = 6时，s[i] = 23, t[i] = -120，用于验证正确性，验证方法：t[i] * (-2) = 240, s[i] * 2 = 46，分别为 a 和 b。 

代码 1：

int exgcd(int a, int b) {
    if (!b) return ob;
    x = oox - a / b * ox, oox = ox, ox = x;
    y = ooy - a / b * oy, ooy = oy, oy = y;
    return exgcd(ob = b, a % b);
}

（最终的 x 存放在 oox 中，y 同理）

这是根据算法的描述自己写的代码，在参考了更多 wiki 和博客的介绍后，发现 x 和 y 并不需要弄这么多变量来存，而可以先求得最大公约数后反推 x 和 y。

代码 2：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int res = exgcd(b, a % b, x, y);
    ox = x, x = y, y = ox - a / b * y;
    return res;
}

4、扩欧应用

① 求线性同余方程

线性同余方程：形如  的方程。

由于方程和 ax + by = c 是等价的，根据扩展欧几里得定理，存在整数解等价于 gcd(a, b) 整除 c（gcd(a, b) | c）。

所以，根据上述求解方法求得 x 和 y 后，方程两边同时除以 gcd(a, b) 且乘 c，即 cx / gcd(a, b)和cy / gcd(a, b) 为方程的一组解。　　　　　　　　　　　　　　　　

（gcd(a, b) = 1，且 x0, y0 为其中一组解时，所有解可以表示为 x = x0 + bt, y = y0 - at，t 为任意整数）

代码略。

② 求乘法逆元

乘法逆元：全称为模意义下的乘法运算的逆元（Modular Multiplicative Inverse），如果一个线性同余方程满足：

则 x 称为 a mod b 的逆元，记作a ^ -1。

作为线性同余方程的一种特殊情况，思路是类似的：方程和 ax + by = 1 是等价的，存在整数解等价于 gcd(a, b) 整除 1，即 gcd(a, b) = 1，即 a 和 b 互素。

代码略。

乘法逆元同样可以用费马小定理来求，请参见：6.4.3 费马小定理