[知识点] 2.7 前缀和与差分

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前言

没有想到前缀和也被单独拿出来作为一节来讲，不过也好，还可以顺便讲讲前面又碰到了一次的多维前缀和以及差分。

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1、前缀和

2、差分

3、多维前缀和

2.7 前缀和与差分

1、前缀和

前缀和：对于数列 a，其第 1, 2, ..., i 项之和，即 a[1] + a[2] + ... + a[i]，称为数列 a 第 i 项的前缀和。

学过高中数学的数列章节就知道，“前缀和”和“前 n 项和 Sn”的概念是等价的。

前缀和有啥用？最简单的，如果我们要求数列某一个区间 [l, r] 之和，如果预处理了前缀和 sum，则直接 sum[r] - sum[l - 1] 就得到了区间和。

2、差分

和前缀和相对的一个概念。

差分：对于数列 a，其第 i 个元素和第 i - 1 个元素的差称为数列 a 第 i 项的差分。

令差分数组为 b，则存在：b[i] = a[i] - a[i - 1]

有意思的是，对差分数组求前缀和就又可以得到原数列 a 了。

sumb[i] = b[1] + b[2] + ... b[i] = a[1] + a[2] - a[1] + ... + a[i] - a[i - 1] = a[i]

那么我们拿着这个差分数组有什么用捏？

【例题】给定一个数列 a，进行 m 次操作，每次给定三个值 l, r, p，操作类型如下：

① 1 l r p，表示对 a[l..r] 的每一个元素加上 p；

② 2 l r，表示查询 a[l..r] 的元素和。

确保所有操作 ① 执行完后才会有操作 ②。

最简单的做法就是对于修改操作逐一加上 p，对于查询操作可以用前面的前缀和来求。但注意到题目最后这个限定：所有修改操作会在任意查询操作之前执行，这样其实我们可以拿差分数组做文章，每次只修改差分数组的两个端点即可，见下面的图解举例：

是不是很神奇呢？修改的方式很简单，如果修改区间为 [l, r]，则对 b[l] += p, b[r + 1] -=p，具体就不解释原因了。 

不过限定条件也体现出了这种方式的不足：差分数组相当于提供了一个临时的方舱医院，需要时间搭建，但一旦搭建好了就能很快收容大量病人，而等疫情结束后再拆除；普通医院是现成的，但床位不够效率不高，然而适用于平常的各种疑难杂症，可以随时收治（好像也不是很恰当、）。

所以如果遇到修改操作和查询操作交替出现的情况，差分数组的便捷则完全体现不出，需要反反复复地在原数组和差分数组之间转化，那和直接枚举的效率不相上下。但同时出现两种操作显然是更符合现实情况的，而要解决这种问题，树状数组（请参见：<施工中>）和线段树（请参见：<施工中>）都是很棒的方法，它们适用范围更广于差分数组，但是搭建起来，尤其是线段树，则较为麻烦。

3、多维前缀和

① 二维前缀和

上述前缀和为一维线性的，而对于矩阵二维数组，则：

令原矩阵为 a，定义另一个矩阵 sum，有

 

即矩阵 a 的第 i 行第 j 列的前缀和为 sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j]。

如图：

二维前缀和又有什么用呢？下面给出一道例题：

【Luogu P1387】【最大正方形】在一个 n * m 的 0 - 1 矩阵里找到一个不包括 0 的最大正方形并输出其边长。

如图所示，首先按上述过程求出二维前缀和。

随便指定两个坐标 (2, 2), (3, 3)，由于前缀和全部都是以 (1, 1) 为左上端点，所以对于这种不搭边的正方形同样需要转化为以 (1, 1) 为左上端点的正方形。

根据容斥原理，不难发现以其为两个端点组成的正方形是通过这三部分加减而成：3 * 3 的正方形，减去左侧 3 * 1 的矩形，再减去上方 1 * 3 的矩形，最后再补上被减去两次的 1 * 1。

而因为有二维前缀和，求和也就根据这个思路：ans = sum[3][3] - sum[3][1] - sum[1][3] + sum[1][1] = 7 - 1 - 2 + 0 = 4

这样，我们就可以通过枚举两个端点坐标，同时以 O(1) 的效率求出由两个端点组成的正方形的权值和，判断是否不包括 1（即是否等于正方形元素个数和）即可。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 105

int n, m, a[MAXN][MAXN], sum[MAXN][MAXN], mx, ans;

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            cin >> a[i][j];
            sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j];
        }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            for (int k = 1; k < i; k++)
                for (int l = 1; l < j; l++)
                    if (i - k == j - l) {
                        int o = sum[i][j] - sum[i][l] - sum[k][j] + sum[k][l];
                        if (o == (i - k) * (j - l) && o > mx)
                            mx = o, ans = i - k;
                    }
    cout << ans;
    return 0;
} 

② 高维前缀和

和二维前缀和一样，根据容斥原理可得计算方法，只不过会更加麻烦，暂且不提。