[知识点] 6.2 快速幂

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前言

很早就知道的一个知识点了，应用场景很多，很实用。

子目录列表

1、概念

2、算法描述

3、具体思路

4、代码

5、应用

6.2 快速幂

1、概念

快速幂，学名为二进制取幂（Binary Exponentiation），是一个在 O(log n) 时间内计算 a ^ n 的算法，对于 n 很大的情况下能大幅提高程序效率。不仅如此，它还可以应用在任何具有结合律的运算中。

2、算法描述

计算 a 的 n 次方，暴力算法即直接使用 for 循环进行 n 次相乘，时间复杂度为 O(n)，当 n 较大时，显然不再适用。而快速幂算法利用指数能够进行分割来降低复杂度，已知 a ^ (b + c) = (a ^ b) * (a ^ c)，a ^ (2 * b) = (a ^ b) ^ 2，那么，我们是否可以将较大的 n 进行拆分来计算呢？举个例子：

3 ^ 13 = 3 ^ (1101)2 = (3 ^ 8) * (3 ^ 4) * (3 ^ 1)

根据幂数的结合律，我们将其拆分成若干个 2 的次方数，比如上述例子 13 = 8 + 4 + 1，又可以通过计算得到 3 ^ 1 = 3, 3 ^ 2 = (3 ^ 1) ^ 2 = 9, 3 ^ 4 = (3 ^ 2) ^ 2 = 81, 3 ^ 8 = (3 ^ 4) ^ 2 = 6561，将其相乘即可。

不难看出，快速幂是一种倍增思想的算法。原式被分解成 a 的 2 ^ k 次幂的序列，我们从 a ^ 1 开始通过倍增一一求出序列各数的值，其时间复杂度显然为 O(log n)。

3、具体思路

上一节提到的位运算（请参见：6.1 位运算与进位制），这里便是其很好的一个运用场景。在拆分幂数时，显然使用二进制要比十进制来得轻松。以上面的例子进行描述：

> 初始结果为 1，初始倍增数为 3 ^ 1，13 的二进制为 (1101)2

> 当前最低位为 1，对应 3 ^ 1，结果乘上 3 ^ 1 变成 3，倍增数倍增一次变成 3 ^ 2，(1101)2 右移一位变成 (110)2

> 当前最低位为 0，对应 0 * 3 ^ 2，结果不变，倍增数倍增一次变成 3 ^ 4，(110)2 右移一位变成 (11)2

> 当前最低位为 1，对应 3 ^ 4，结果乘上 3 ^ 4 变成 3 ^ 5，倍增数倍增一次变成 3 ^ 8，(11)2 右移一位变成 (1)2

> 当前最低位为 1，对应 3 ^ 8，结果乘上 3 ^ 8 变成 3 ^ 13，倍增数倍增一次变成 3 ^ 16，(1)2 右移一位变成 (0)2，结束，退出循环

4、代码

int pow(int a, int b) {
    int o = a, res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) (res *= o) %= MOD;
        (o *= o) %= MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

代码展示的是最为常见的应用 —— 模意义下直接求幂。

根据费马小定理（请参见：6.4.2 费马小定理与欧拉定理），如果 b 是一个质数，可以直接计算 a ^ (b mod (MOD - 1))。

5、应用

除了直接求幂，还可以用于计算斐波那契数，多次置换等等。此处暂略。