[题目][蓝桥杯ALGO-60] 矩阵乘方

一、题目

1、题目链接

http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T104（需要登录且需要 VIP 账户）

2、问题描述

给定一个矩阵 A,一个非负整数 b 和一个正整数 m，求 A 的 b 次方除 m 的余数。

其中一个 n x n 的矩阵除 m 的余数得到的仍是一个 n x n 的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。

要计算这个问题，可以将 A 连乘 b 次，每次都对 m 求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用 A ^ b 表示 A 的 b 次方)：

若 b = 0，则 A ^ b % m = I % m。其中 I 表示单位矩阵。

若 b 为偶数，则 A ^ b % m = (A ^ (b / 2) % m) ^ 2 % m，即先把 A 乘 b / 2 次方对 m 求余，然后再平方后对 m 求余。

若 b 为奇数，则 A ^ b % m = (A ^ (b - 1) % m) * a % m，即先求A乘 b - 1 次方对 m 求余，然后再乘 A 后对 m 求余。

这种方法速度较快，请使用这种方法计算 A ^ b % m ，其中 A 是一个 2 x 2 的矩阵，m 不大于 10000。

3、输入格式

输入第一行包含两个整数 b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵 A。

4、输出格式

输出两行，每行两个整数，表示 A ^ b % m 的值。

5、样例输入

2 2
1 1
0 1

6、样例输出

1 0
0 1

二、分析与思路

有点意思的一道基础题。

首先这是个矩阵乘法问题，结合线性代数的知识，不难理解这个过程，并且这道题的矩阵限定为 2 * 2，就更简单了。题面给出了较快的算法，然而我完全没 get 到它想表达的，于是真就直接对 b 判断一次奇偶再分别处理，可能是蓝桥杯 OJ 里的 sb 题太多了，以为这道题也很 sb，交了一发轻松爆 0。

然后干脆忽略掉了这个较快方法，又交了一发直接求解，90 分，最后一个点竟然 TLE，下载数据一看 b > 10 ^ 8，再回头看题，原来压根就没给出 b 的数据范围。

大致看了下其他的博客，重新读了遍题，才意识到题面所谓的较快方法 —— 原来是在暗示快速幂。。甚至可以说是明示。题目那两句话本质是隐含了递归思想的，确实之前没做过矩阵快速幂，完全没有往这方面想。

那么明白了需要快速幂之后，其实矩不矩阵是没啥影响的，把矩阵的乘法运算封装一下，和普通的快速幂是几乎一样的。

三、代码

1、常规代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, m, c[3][3], a[3][3], res[3][3];

void multi(ll a[][3], ll b[][3]) {
    memset(c, 0, sizeof(c));
     for (int i = 1; i <= 2; i++)
        for (int j = 1; j <= 2; j++)
            for (int k = 1; k <= 2; k++) 
                (c[i][j] += a[i][k] * b[k][j]) %= m;
    for (int i = 1; i <= 2; i++)
        for (int j = 1; j <= 2; j++)
            a[i][j] = c[i][j];
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> a[1][1] >> a[1][2] >> a[2][1] >> a[2][2];
    if (n) {
        res[1][1] = a[1][1] % m, res[1][2] = a[1][2] % m;
        res[2][1] = a[2][1] % m, res[2][2] = a[2][2] % m;
        n--;
        while (n) {
            if (n & 1) multi(res, a);
            multi(a, a);
            n >>= 1;
        }
        cout << res[1][1] << ' ' << res[1][2] << endl;
        cout << res[2][1] << ' ' << res[2][2];
    }
    else cout << "0 0
0 0";
    return 0;
}

2、矩阵封装类代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, m, i, j, k, l;

class Matrix {
public:
    ll a[2][2];
    Matrix() {}
    Matrix(int i, int j, int k, int l):
        a({{i, j}, {k, l}}) {}
    friend Matrix operator * (const Matrix x, const Matrix y) {
        Matrix t;
        t.a[0][0] = (x.a[0][0] * y.a[0][0] + x.a[0][1] * y.a[1][0]) % m;
        t.a[0][1] = (x.a[0][0] * y.a[0][1] + x.a[0][1] * y.a[1][1]) % m;
        t.a[1][0] = (x.a[1][0] * y.a[0][0] + x.a[1][1] * y.a[1][0]) % m;
        t.a[1][1] = (x.a[1][0] * y.a[0][1] + x.a[1][1] * y.a[1][1]) % m;
        return t;
    }
};
 
int main() {
    cin >> n >> m;
    cin >> i >> j >> k >> l;
    Matrix a(i, j, k, l), res;
    if (n) {
        res = a;
        n--;
        while (n) {
            if (n & 1) res = res * a;
            a = a * a;
            n >>= 1;
        }
        cout << res.a[0][0] % m << ' ' << res.a[0][1] % m << endl;
        cout << res.a[1][0] % m << ' ' << res.a[1][1] % m ;
    }
    else cout << "0 0
0 0";
    return 0;
}

四、相关知识点

6.2  快速幂