[知识点]平衡树之Splay

// 此博文为迁移而来，写于2015年7月18日，不代表本人现在的观点与看法。原始地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_6022c4720102w6rg.html

 

UPDATE（20180831）：重写代码，微调。

一、前言

这玩意儿真的搞了我好久，当然前一阵子一直都没有去管它，最近直接参照了YML（@YMDragon）的程序，感觉还是不错的，大概看得懂了，就是逻辑关系有点扯。好，废话不多说……

二、概念

平衡树的全称为：平衡二叉搜索树，功能很强大，带来的后果就是代码非常复杂。首先大家应该都知道二叉搜索树是什么了，那么前面加一个平衡的含义在于什么？根据读入顺序 { 80,30,90,20,40,35,38 }，我们先构造出一棵二叉搜索树，如图：

显然，这棵树长得有点畸形，其根节点左儿子部分节点明显过多。然而这不仅仅是看起来不舒服的问题，但我们要在树上进行某项询问或是某项操作的时候，如果深度过大，将会明显影响到时间效率，可以举一个极端的例子——如果我们构造出的是一条链，那么时间复杂度可想而知。而平衡的含义就出现了，让这棵树长得更像一棵树！在操作的时候能够提高效率。写平衡树的方式有很多种，如：Splay，Treap，红黑树和AVL树等等。Splay相比之下功能强大，代码量较大，今天的重点就在Splay。

三、伸展

　　Splay的中文是伸展，故Splay又名伸展树。Splay主要存在三种操作，下面一一介绍：

　　　　1、Zig操作：目标节点X是根节点的左（右）儿子，则将目标节点右（左）旋转至根节点。

　　　　2、Zig-zig操作：目标节点X不是根节点的子节点，且为其父节点的左（右）儿子，其父节点为其爷爷节点的左（右）儿子，则将目标节点X和其父节点先后进行右（左）旋。

　　　　3、Zig-zag操作：目标节点X不是根节点的子节点，且为其父节点的左（右）儿子，其父节点为其爷爷节点的右（左）儿子，则将目标节点X进行右（左）旋，其父节点进行左（右）旋。

　　具体操作的话，旋转多为自下而上的递归旋转，直到把目标节点旋转至根节点。

四、应用

平衡树存在一个共同作用也就是前文所提——平衡（废话呢）。但是今天的主题是Splay，之前也说过了它功能强大，那么强大在哪里？第一眼看题目你也许根本想不到要用Splay。现在我们来看一道神题：

      首先这是一道NOI2005的原题，BZOJ上没有给树数据范围，但可想而知模拟的时间复杂度和空间复杂度一定是不能承受的。我也曾想到了链，但是感觉实现起来有点麻烦，那么这道题要用到的就是Splay。注意到，六大操作中，全部区间修改或区间询问，故我们先设当前操作对应区间为[x,y]（INSERT是个例外，但可以认为 y = x + 1），首先我们将x旋转至根，然后在将y旋转至根，仔细思考一下，[x,y]目前在树中是如何分布的？必然是在同一棵子树之中。那么这样就好处理了，插入时即可类似于在这棵子树中构造（同等于最开始的输入环节），删除时直接将一棵子树清空（清空的具体操作：权值记为0，作标记；可能会遇到一个问题，如果删除操作过多，可能会造成过多的空间资源的浪费，这里我们可以考虑开一个队列，以便以后新插入节点时可以直接使用已经被删除的空间），修改权值和翻转的操作有点类似于线段树；询问的话，提前对于每一棵子树进行维护即可。

 

代码：

 

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

#define MAXN 500005
#define INF 0x3f3f3f3f

int n, m, p, tot, l, r, a[MAXN], rt, x;
char ch[10];
queue <int> Q;

struct tree {
    int x, sum, l, r, m, s[2], f, w, ta, tb;
} t[MAXN];

void mksame(int o, int w) {
    if (!o) return;
    t[o].w = w, t[o].ta = 1, t[o].sum = t[o].w * t[o].x;
    t[o].l = t[o].r = t[o].m = t[o].w > 0 ? t[o].sum : t[o].w;
}

void rev(int o) {
    if (!o) return;
    swap(t[o].s[0], t[o].s[1]), t[o].tb ^= 1;
    swap(t[o].l, t[o].r);
}

void push(int o) {
    if (!o) return;
    if (t[o].ta) mksame(t[o].s[0], t[o].w), mksame(t[o].s[1], t[o].w), t[o].ta = 0;
    if (t[o].tb) rev(t[o].s[0]), rev(t[o].s[1]), t[o].tb = 0;
}

void upd(int o) {
    if (!o) return;
    push(o);
    int ls = t[o].s[0], rs = t[o].s[1];
    t[o].x = t[ls].x + t[rs].x + 1; 
    t[o].sum = t[ls].sum + t[rs].sum + t[o].w;
    t[o].l = max(t[ls].l, t[ls].sum + t[o].w + max(t[rs].l, 0));
    t[o].r = max(t[rs].r, t[rs].sum + t[o].w + max(t[ls].r, 0));
    t[o].m = max(max(t[ls].m, t[rs].m), t[o].w + max(t[ls].r, 0) + max(t[rs].l, 0));
}

void rot(int o) {
    int f = t[o].f, g = t[f].f, x = (t[f].s[1] == o), s = t[o].s[x ^ 1];
    if (g) t[o].f = g, t[g].s[t[g].s[1] == f] = o;
    else t[o].f = 0, rt = o;
    t[f].s[x] = s;
    if (s) t[s].f = f;
    t[f].f = o, t[o].s[x ^ 1] = f;
    upd(f), upd(o);
}

void splay(int o) {
    int tot = 0;
    for (int x = o; x; x = t[x].f) tot++, a[tot] = x;
    for (int i = tot; i >= 1; i--) push(a[i]);
    while (t[o].f) rot(o); 
}

void build(int o, int l, int r) {
    int m = (l + r) >> 1;
    if (l < m) t[o].s[0] = Q.front(), Q.pop(), build(t[o].s[0], l, m - 1), t[t[o].s[0]].f = o;
    scanf("%d", &t[o].w);
    if (m < r) t[o].s[1] = Q.front(), Q.pop(), build(t[o].s[1], m + 1, r), t[t[o].s[1]].f = o;
    upd(o); 
}

void ins() {
    int rt = Q.front();
    Q.pop(), build(rt, 1, tot);
    if (l) t[l].s[1] = rt, t[rt].f = l;
    else t[r].s[0] = rt, t[rt].f = r;
    upd(l), upd(r);
}

void dfs(int o) {
    if (t[o].s[0]) dfs(t[o].s[0]);
    if (t[o].s[1]) dfs(t[o].s[1]);
    Q.push(o), memset(t + o, 0, sizeof(t[o]));
}

void del() {
    if (l) dfs(t[l].s[1]), t[l].s[1] = 0;
    else dfs(t[r].s[0]), t[r].s[0] = 0;
}

void init() {
    freopen("splay.in", "r", stdin);
    freopen("splay.out", "w", stdout);
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= MAXN; i++) Q.push(i);
    t[0].l = t[0].r = t[0].m = -INF;
    rt = Q.front(), Q.pop(), build(rt, 1, n);
}

int rk(int o) {
    int x = rt;
    while (x) {
        push(x);
        if (t[t[x].s[0]].x + 1 == o) return x;
        if (t[t[x].s[0]].x >= o) x = t[x].s[0];
        else o -= t[t[x].s[0]].x + 1, x = t[x].s[1];
    }
    return 0;
}

int main() {
    init();
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%s", ch);
        if (ch[2] != 'X') scanf("%d %d", &p, &tot);
        if (ch[0] == 'I') splay(l = rk(p)), splay(r = rk(p + 1)), ins();
        else if (ch[2] != 'X') splay(l = rk(p - 1)), splay(r = rk(p + tot));
        if (ch[0] == 'D') del();
        if (ch[2] == 'K') scanf("%d", &x), mksame(l ? t[l].s[1] : t[r].s[0], x);
        if (ch[0] == 'R') rev(l ? t[l].s[1] : r ? t[r].s[0] : rt);
        if (ch[0] == 'G') printf("%d
", l ? t[t[l].s[1]].sum : t[t[r].s[0]].sum);
        else if (ch[2] == 'X') printf("%d
", t[rt].m);
        else if (ch[0] != 'I') upd(l), upd(r);
    }
        return 0;
}