数字三角形问题

1.数字三角形问题1：

•    7

•   3 8

•  8 1 0

• 2 7 4 4

•4 5 2 6 5

•从第一层走到最后一层，每次向左下或右下走，求路径的最大权值和。

 

思路：

•如果利用转移方程求解原问题？

•f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j]

•1、从上向下转移，即i从小到大？

•2、从下向上转移，即i从大到小？

•观察转移方程的性质

•因为第i行的解要由第i+1行的解得到，所以必须从下向上转移！！

 

代码：

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <queue>

using namespace std;

#define PI acos(-1.0)
#define EPS 1e-10
#define lll __int64
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff

const int N=100;
int a[N][N];

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    //freopen("D:\output.out","w",stdout);
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<=i;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int i=n-2;i>=0;i--)
            for(int j=0;j<=i;j++)
                a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
        printf("%d
",a[0][0]);
    }
    return 0;
}

2.数字三角形问题2：

在问题1的基础上加上一条件：

•某一层可以随意跳

 

思路：加一维状态即可。

解法一：

#include <fstream>
#include <iostream>

using namespace std;

#define PI acos(-1.0)
#define EPS 1e-6
#define lll __int64
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)

int s[102*103/2],dp[102*103/2][2];//dp:从第i点起至最后一层且第i点所在层以后(包括该层)是否跳过的最优值(第二维为1表示已跳过)
int n,cnt;

int main()
{
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    //freopen("D:\output.out","w",stdout);
    int t,t2,t3;
    while(scanf("%d",&n)&&n)
    {
        cnt=n*(n+1)/2;
        rep(i,1,cnt)
        {
            scanf("%d",s+i);
            dp[i][0]=0;
            dp[i][1]=0;
        }
        t=n*(n-1)/2;
        rep(i,1,n)
        {
            t2=t+i;
            dp[t2][0]=s[t2];
            dp[t2][1]=dp[t2][0];
        }
        dep(i,n-1,1)
        {
            t=i*(i-1)/2;
            t2=i*(i+1)/2;
            t3=0;
            rep(j,1,i+1)
                t3=max(t3,dp[t2+j][0]);
            rep(j,1,i)
            {
                dp[t+j][0]=s[t+j]+max(dp[t2+j][0],dp[t2+j+1][0]);
                dp[t+j][1]=s[t+j]+max(max(dp[t2+j][1],dp[t2+j+1][1]),t3);
            }
        }
        printf("%d
",max(dp[1][1],dp[1][0]));
    }
    return 0;
}

解法二：

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

#define PI acos(-1.0)
#define EPS 1e-6
#define lll __int64
#define ll long long
#define INF 0x7fffffff

const int N=100;
int a[N][N],dp[N][N][2];//第三维若是1，表示此层之下发生过跳跃。

int main()
{
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    //freopen("D:\output.out","w",stdout);
    int n;
    while(scanf("%d",&n)&&n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=1;i<=n;i++)   dp[n][i][0]=a[n][i],dp[n][i][1]=a[n][i];
        for(int i=n-1;i>0;i--){
            int maxn=0;
            for(int j=1;j<=i+1;j++)
                if(dp[i+1][j][0]>maxn)  maxn=dp[i+1][j][0];
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i][j][0]=a[i][j]+max(dp[i+1][j][0],dp[i+1][j+1][0]);
                dp[i][j][1]=a[i][j]+max(max(dp[i+1][j][1],dp[i+1][j+1][1]),maxn);
            }
        }
        printf("%d
",dp[1][1][1]);
    }
    return 0;
}

样例：

4
    1
   3 2
 4 10 1
4 3 2 20
0

answer：34